众文网1.跪求复变函数的论文
4.1.3复变函数项级数 定义4.3设{fn(z)}(n=1, 2， …)为一复变函数列，其中各项均在复数域D上有定义，称表达式∑∞〖〗n=1fn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…（4.2）为复变函数项级数.该级数的前n项和Sn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)为级数的部分和. 若z0为D上的固定点，limn→∞Sn(z)=S(z0)，则称复变函数项级数（4.2）在z0点收敛，z0称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的一个收敛点，收敛点的集合称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的收敛域.若级数∑∞〖〗n=1fn(z)在z0点发散，则称z0为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的发散点，发散点的集合称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的发散域. 若对D内的任意点z，都有limn→∞Sn(z)=S(z)，则称级数∑∞〖〗n=1fn(z)在D内处处收敛.并称S(z)为级数的和函数. 下面我们重点讨论一类特别的解析函数项级数——幂级数，它是复变函数项级数中最简单的情形.4.2幂级数〖〗 在复变函数项级数的定义中，若取fn(z)=an(z-z0)n或fn(z)=anzn(n=1, 2， …)，就得到函数项级数的特殊情形∑∞〖〗n=0an(z-z0)n=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+…+an(z-z0)n+… （4.3）或∑∞〖〗n=0anzn=a0+a1z+a2z2+…+anzn+…（4.4）形如（4.3）或（4.4）的级数称为幂级数，其中，a0, a1， …， an， …和z0均为复常数. 在级数（4.3）中，令z-z0=ξ，则化为式（4.4）的形式，称级数（4.4）为幂级数的标准形式，式（4.3）称为幂级数的一般形式.为方便，今后我们以幂级数的标准形式（4.4）为主来讨论，相关结论可平行推广到幂级数的一般形式（4.3）.4.2.1幂级数的收敛性 关于幂级数收敛问题，我们先介绍下面的定理.定理4.5(Abel定理)若幂级数∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）处收敛，则此级数在|z||z0|内级数发散. 证若∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）处收敛，即级数∑∞〖〗n = 0anzn0收敛，所以limn→∞anzn0=0因而，存在常数M>0使得对所有的n，有|anzn0|所以，∑∞〖〗n=0anzn绝对收敛. 若∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）发散，假设存在一点z1，使得当|z1|>|z0|时，∑∞〖〗n = 0anzn1收敛. 则由上面讨论可知，∑∞〖〗n = 0anzn0收敛，与已知∑∞〖〗n = 0anzn0发散矛盾！因此，∑∞〖〗n=0anzn在|z|>|z0|发散. 由Abel定理，我们可以确定幂级数的收敛范围，对于一个幂级数来说，它的收敛情况有以下三种情形：（1） 对所有正实数z=x， ∑∞〖〗n=0anxn都收敛，由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在复平面上处处绝对收敛；（2） 对所有的正实数x，∑∞〖〗n=0anxn(x≠0)发散，由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在复平面内除原点z=0外处处发散；（3） 既存在使级数收敛的正实数x1>0，也存在使级数发散的正实数x2>0，即z=x1时级数∑∞〖〗n = 0anxn1收敛，z=x2时级数∑∞〖〗n = 0anxn2发散.由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在|z|≤x1内，级数绝对收敛，在|z|≥x2内级数发散. 在情形（3）中，可以证明，一定存在一个有限的正数R，使得幂级数∑∞〖〗n=0anzn在圆|z|R时发散，则称R为幂级数的收敛半径，称|z|约定在第一种情形，R=∞；第二种情形，R=0. 而对于幂级数∑∞〖〗n=0an(z-z0)n，收敛圆是以z0为圆心，R为半径的圆：|z-z0|至于在收敛圆的圆周|z|=R（或|z-z0|=R）上，∑∞〖〗n=0anzn或∑∞〖〗n=0an(z-z0)n的收敛性较难判断，可视具体情况而定. 关于幂级数收敛半径的求法，同实函数的幂级数类似，可以用比值法和根植法.定理4.6（ 幂级数收敛半径的求法）设幂级数∑∞〖〗n=0anzn，若下列条件之一成立：（1） （比值法）limn→∞an+1〖〗an=L;(2) （根值法）limn→∞n〖〗|an|=L.则幂级数∑∞〖〗n=0anzn的收敛半径R=1〖〗L. 证明从略.当L=0时，R=∞；当L=∞时，R=0. 例4.4求下列幂级数的收敛半径：（1） ∑∞〖〗n=1zn〖〗n3（讨论圆周上情形）；（2） ∑∞〖〗n=1(z-1)n〖〗n（讨论z=0, 2的情形）；（3） ∑∞〖〗n=0(cosin)zn. 解（1）因为limn→∞an+1〖〗an=limn→∞1〖〗（n+1）3〖〗1〖〗n3=limn→∞n〖〗n+13=1或者limn→∞n 〖〗|an|=limn→∞n〖〗1〖〗n3=limn→∞1〖〗n〖〗n3=1所以，收敛半径R=1，从而级数的收敛圆为|z|1），所以，级数在圆周|z|=1上也收敛.因此，所给级数的收敛范围为|z|≤1. (2) 由于limn→∞an+1〖〗an=limn→∞1〖〗（n+1）〖〗1〖〗n=limn→∞n〖〗n+1=1，故收敛半径R=1，从而它的收敛圆为|z-1|在圆周|z-1|=1上，当z=0时，原级数成为∑∞〖〗n=1(-1)n1〖〗n（交错级数），所以收敛；当z=2时，原级数为∑∞〖〗n=11〖〗n，发散.表明在收敛圆周上，既有收敛点又有发散点. （3） 由于an=cosin=1〖〗2(en-e-n)，所以limn→∞an+1〖〗an=limn→∞en+1-e-(n+1)〖〗en-e-n=limn→∞en(e-e-2n-1)〖〗en(1-e-2n)=e故收敛半径为R=1〖〗e. 例4.5求幂级数∑∞〖〗n=1(-1)n1+sin1〖〗n-n2zn的收敛半径. 解因为limn→∞n〖〗（-1）n1+sin1〖〗n-n2=limn→∞1+sin1〖〗n-n=limn→∞1+sin1〖〗n1〖〗sin1〖〗n-sin1〖〗n〖〗1〖〗n=e-1故所求收敛半径为R=e. 例4.6求幂级数∑∞〖〗n=1(-i)n-1(2n-1)〖〗2nz2n-1的收敛半径. 解记fn(z)=(-i)n-1(2n-1)〖〗2nz2n-1，则limn→∞fn+1(z)〖〗 fn(z)=limn→∞（2n+1）2n|z|2n+1〖〗（2n-1）2n+1|z|2n-1=1〖〗2|z|2当1〖〗2|z|2当1〖〗2|z|2>1时，即|z|>2时，幂级数发散. 所以，该幂级数的收敛半径为R=2.4.2.2幂级数的运算和性质 和实。
2.研究复变函数有何意义
对于某些专业的工科学生，研究复变函数非常有意义
复变函数的记号是w=f(z)。
从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。
在直角坐标系复平面上，自变量记作z=x+iy，函数值记作w=u+iv。那么复变函数w=f(z)就等价于两个二元函数u=u(x,y),v=v(x,y)，即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。
在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中 ，平面流速场的速度分布可用复函数 V=V(z)=Vx(x,y)+i Vy(x,y)来表示，其中，Vx(x,y)和Vy(x ,y)是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V(z)则称为复速度。
在静电学中，平面静电场也可以用复函数 E(z)=Ex(x,y)+i Ey(x,y)来表示，Ex(x,y)和 Ey(x,y)是坐标轴方向的场强分量，E(z)称为复场强。
“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）对于理科的物理专业，工科的空气动力学专业、化工流变学专业以及一切与研究电场有关的专业和研究流体流速场有关的专业，都是很基础的一门课程。
3.复变函数中求积分的方法有哪些
原发布者：刘晓辉
哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：求复变函数的积分方法2013年6月1日目录摘要1Abstract2前言3第一章复积分的概念及其简单性质41.1复变函数积分的定义41.2复变函数积分的基本性质5第二章复积分的计算72.1函数沿非闭曲线的积分的计算72.1.1定义法72.1.2参数方程法82.2函数沿闭曲线的积分的计算112.2.1积分定理112.2.2挖奇点法132.2.3柯西积分公式152.2.4高阶导数公式15第三章用留数定理计算复积分173.1留数定理及其应用173.1.1留数的定义173.1.2留数定理173.2留数定理与其它解法的联系18参考文献20致谢21摘要复积分即指复变函数积分。在复变函数的分析理论中，复变函数的积分是研究解析函数的重要工具。复变函数里的积分不仅仅是研究解析函数的重要工具，它也是学习后继课程积分变换的基础，因此就复积分的计算方法进行总结和探讨是十分必要的。柯西积分公式、高阶导数公式以及留数定理对复积分的计算起到很大的作用。本文介绍了计算复积分的几种方法，同时讨论了留数定理与复积分之间的内在联系，并且总结出利用柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等来计算复变函数积分的基本方法，通过实例说明每种方法使用的范围，从中揭示出他们的内在联系，本文对复积分的计算方法进行了比较系统的归纳总结，从中概括出解题方法和
4.哪位高手能知道“向量值复变函数”的定义呀
复变函数
complex function
自变量与函数值均为复数的函数的总称。一般将单变量复变函数简称为复变函数，而多变量复变函数称为多复变函数，除此之外还有函数值为多元复数的复向量值函数。由于常把实数域直接看成为复数域的子域，因而，复变函数实际包函了全部实自变量实值函数。复变函数常用的记号是w=f(z)。从几何的角度看，复变函数是复平面上的点集到复平面的一个映射（也称为变换），在复平面采用直角坐标系的情况下，自变量记作z=x+iy，函数值记作w=u+iv，则复函数可写成w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，即一个复函数的映射等同于两个二元实函数的映射。在物理学或力学中，复变函数用来建立平面场的数学模型，例如在流体力学中 ，平面流速场的速度分布可用复函数 V=V(z)=Vx(x,y)+Vy(x,y)来表示，其中，Vx(x,y)和Vy(x ,y)是速度分量 ，V(z)称为复速度。在静电学中，平面静电场也可以用复函数 E(z)=Ex(x,y)+iEy(x,y)来表示，Ex(x,y)和Ey(x,y)是场强分量，E(z)称为复场强。
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