众文网1.数列求和解决生活问题的论文
这个问题你找对人了。我一年前也写过一篇关于数列求和与递归关系的论文（我也是高中生）。下面按我说的做：
构思部分：
首先，你需要明确研究对象。现在你的研究对象是一种没学过的函数。
其次，看着你的函数，然后思考：这是一个什么函数，指数 对数 三角 双曲 幂 反三角 伽玛 贝塔还是西格马，简单函数还是复合函数，初等函数还是高等函数。
再次，思考该函数的以下性质：
1 定义域和值域
2 单调性 极值 凹凸性 拐点 渐进线 渐进点 连续（离散）性 周期性 奇偶性 渐开线 渐屈线 包络线 等等等等
3 f(x+y) f(x-y) f(cx) f(xy) f(x/y)等能否展开
4 看该函数是否满足一些非常对称的等式或不等式
5 该函数的迭代 复合后有没有什么特殊性质
6 几何上的特殊意义
7 生活生产中的应用
8 其他
第四，开始研究以上性质。
第五，考虑如何利用高中数学知识证明以上性质。例如讨论该函数的极值，有两种办法：1 通过变形，把该函数的极值问题化归为二次函数等已知函数的极值问题，或利用单调性解决之；2 对该函数求导，利用导数解决问题。
写作部分：
引入：先写一个背景材料 历史回顾什么的，神吹海侃一番，把前人对该函数的研究简单介绍一下。然后写一个内容提要，把你要讲的内容简单说明一下，最重要的是指出你的研究的独创性。
正文开头：如果该函数有特殊的几何意义或在生活生产中有重要应用，不妨以此作为引入的材料。如果没有，那就只好直接进入主题。
正文主要内容：把前面提到的性质有条例地叙述一遍。
结尾：把你在论文中参考到的内容的出处罗列出。然后交给打字员，大功告成！
基本上就这过程，好好干吧！
祝你好运！
2.数列求和的常用方法
(1)公式求和法：
①等差数列、等比数列求和公式
②重要公式：1+2+…+n=
1
2 n(n+1);
1 2 +2 2 +…+n 2 =
1
6 n(n+1)(2n+1);
1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 =
1
4 n 2 (n+1) 2 ;
(2)裂项求和法：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)-f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：a n =
1
( A n +B)( A n +C) =
1
C-B (
1
A n +B -
1
An+C );
1
n(n+1) =
1
n -
1
n+1 ;
(3)错位相减法：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减法.a n =b n c n ，其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列
(4)倒序相加法：S n 表示从第一项依次到第n项的和，然后又将S n 表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S n 的一种求和方法.
(5)通项分解法（分组求和法）：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.a n =b n ±c n
(6)并项求和法：把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n .如：100 2 -99 2 +98 2 -97 2 +…+2 2 -1 2 的和.
(7)利用通项求和法：先求出数列的通项，然后进行求和
3.数列求和的8种常用方法（最全）
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内容来自用户：才情数学人
求数列前n项和的8种常用方法
一.公式法（定义法）：
1.等差数列求和公式：
特别地，当前项的个数为奇数时，，即前项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算；
2.等比数列求和公式：
(1),;
(2)，，特别要注意对公比的讨论；
3.可转化为等差、等比数列的数列；
4.常用公式：
(1);
(2);
(3);
(4).
例1已知，求的前项和.
解：由
由等比数列求和公式得==
=1-
例2设，，求的最大值.
解：易知，∴=
==
∴当，即时，.
二.倒序相加法：如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.
例3求的值
解：设…………①
将①式右边反序得
…………②（反序）又因为①+②得（反序相加）
=89
∴S=44.5
例4函数，求的值.
三.错位相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.
如：等比数列的前项和就是用此法推导的.
例5求和：…………①
解：由题可知，常见裂项公式解
4.数列求和的几种方法
1. 公式法：等差数列求和公式： Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式： Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)2.错位相减法 适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+。
+anbn 例如： an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4。.+anbn qTn= a1b2+a2b3+a3b4+。
+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+。bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+。
bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/（1-q）3.倒序相加法 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an） Sn =a1+ a2+ a3+。
+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)。
+a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/24.分组法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例如：an=2^n+n-15.裂项法 适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。 常用公式： （1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/（√a+√b）=[1/(a-b)]（√a-√b） (5) n·n!=(n+1)!-n！ [例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和. 解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项） 则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）= 1-1/(n+1)= n/(n+1) 小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
只剩下有限的几项。 注意： 余下的项具有如下的特点 1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。6.数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值时命题成立； （2）假设当n=k(k≥n的第一个值，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：求证：1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 证明： 当n=1时，有： 1*2*3*4 + 2*3*4*5 = 2*3*4*5*(1/5 +1) = 2*3*4*5*6/5 假设命题在n=k时成立，于是： 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 则当n=k+1时有： 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + （k+1）(k+2)(k+3)(k+4) = 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证7.通项化归 先将通项公式进行化简，再进行求和。 如：求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4，……的前n项和。
此时先将an求出，再利用分组等方法求和。8.并项求和：例：1-2+3-4+5-6+……+（2n-1）-2n （并项） 求出奇数项和偶数项的和，再相减。
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