众文网1.均值不等式及应用
4/x+9/y=1，解个x出来：
4/x=1-9/y ,
4=(1-9/y)*x ,
x=4/(1-9/y) ,
由均值不等式：
4/x+9/y >= 2*根号（36/xy）
把前面解的x带到均值不等式左边：
4/[4/(1-9y)]+9/y >= 2*根号（36/xy）
化一下，左边剩个1:
1 >= 2*根号（36/xy）,
1/2 >；= 根号（36/xy）,
平方：
1/4 >= 36/xy ,
1/144 >= 1/xy ,
因此，xy>=144
C
2.均值不等式的妙用?
课题：均值不等式的应用（1课时） 授课时间：2005年11月17号 授课班级：北京市陈经纶中学高三（5）班 授课地点：北京市陈经纶中学高三（5）班教室 授课教师：北京市陈经纶中学 黎宁 考试要求： 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用. 教学目标： 1.使学生进一步掌握算术平均数与几何平均数的相关知识，能利用均值定理解决相关问题； 2.通过对均值不等式的应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力. 3.在学习和解决问题的过程中，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯， 形成积极探索的研究态度. 教学重点和难点： 均值定理使用的条件既是教学重点又是教学的难点. 教学手段：计算机辅助教学 教学方法；启发式，谈话式 教学过程： 一、复习引入：： 均值不等式以及与之相关的不等式内容 均值定理及重要变形 基本形式 其他形式 若，则 （当且仅当 时取“=”）. 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 若，则 （当且仅当 时取“=”） 指出：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”. （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有着广泛的应用. 师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围，证明不等式、解决实际应用问题方面有着广泛的应用，下面举例说明： 二、应用举例： 1、均值定理在求最值问题中的应用： 例1、（01年.北京春）若实数满足 ，则 的最小值是 . 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 都是正数， ≥ 当且仅当 时等号成立，由及得 即当 时， 的最小值是6. 例2.若 是正数，则 的最小值是（ ） A.3 B. C.4 D. 解： = = ≥1+2+1=4 当且仅当 ，即 时等号成立 故选C。
例3.设 ，求函数 的最大值。 解：∵ ∴ 当且仅当 即 时等号成立。
二.均值定理在比较大小中的应用： 例4.(00年.全国卷) 若，则 的大小关系是 . 分析：∵ ∴ （ ∴R>Q>P。 2、求最值： 三.均值定理在求变量取值范围中的应用： 例5.若正数 满足 ，则 的取值范围是 . 分析： 因为 是正数 ∴ ∵∴ 当且仅当 即时等号成立。
故 的取值范围是[9，+∞）。 点评：①本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间的关系，由此想到不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范围. 三、课堂小结： 1、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，和将“积式”转化为“和式”的“放缩功能”. 2、创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号成立. 3、注意均值定理成立的条件：“一正，二定，三取等”。
3.均值不等式
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+。+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2。an)^(1/n)=n次√（a1*a2*a3*。*an）
3、算术平均数：An=(a1+a2+。+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [（a1^2+a2^2+。+an^2）/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+。an^r)/n]^(1/r)（当r不等于0时）；
(a1a2。an)^(1/n)（当r=0时）（即D(0)=(a1a2。an)^(1/n))
则有：当r
4.均值不等式
均值不等式
几个重要不等式（一）
一、平均值不等式
设a1,a2，…， an是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=an时取等号
1.二维平均值不等式的变形
(1)对实数a,b有a2+b2³2ab (2)对正实数a,b有
(3)对b>0，有， （4）对ab2>0有，
(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0，有
(7) 对a>0，有 （8）对实数a,b有a2³2ab-b2
(9) 对实数a,b及l¹0，有
二、例题选讲
例1.证明柯西不等式
证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取
代入（9）得有
两边平方得
法二、，即二次式不等式恒成立
则判别式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1，试证明：
(1)
(2)
证明：（1）左=[]
=
³
(2)由知
同理：
相加得：左³
例3.求证：
证明：法一、取，有
a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b)，…， an(an-b)³b(an-b)
相加得（a12+ a22+…+ an2）-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0
所以
法二、由柯西不等式得： （a1+ a2+…+ an）2=((a1*1+ a2*1+…+ an*1)2£（a12+ a22+…+ an2）(12+12+…+12)
=(a12+ a22+…+ an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1, a2，…，an是正实数，且a1+ a2+…+ an0,
则原不等式即nn+1a1a2…an+1£（1-a1）(1-a2)…（1-an）
1-a1=a2+a3+…+an+1³n
1-a2=a1+a3+…+an+1³n
…………………………………………
1-an+1=a1+a1+…+an³n
相乘得（1-a1）(1-a2)…（1-an）³nn+1
例5.对于正整数n，求证：
证明：法一、
>
法二、左=
=
例6.已知a1,a2,a3，…，an为正数，且，求证：
(1)
(2)
证明：（1）
相乘左边³=（n2+1）n
证明（2）
左边= -n+2(
= -n+2*[(2-a1)+(2-a2)+…+（2-an）](
³ -n+2*n
5.均值不等式
均值不等式
概念：
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+。+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2。an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+。+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [（a1^2+a2^2+。+an^2）/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… 、an∈R +,
当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+。an^r)/n]^(1/r)（当r不等于0时）； （a1a2。an）^(1/n)（当r=0时）（即D(0)=(a1a2。an)^(1/n))
则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
由以上简化，有一个简单结论，
中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤（a+b）/2≤√[（a^2+b^2）/2]
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