同余的性质毕业论文(奥数题同余的概念及性质)

1.奥数题（同余的概念及性质）

用数学语言表达如下：

1. 由已知得

270-15≡186-16≡0 (mod n)

即255≡170≡0 (mod n)

3*5*17≡2*5*17≡0 (mod n)

故n是255和170的公约数，可能是17或85

2.999+2*999+3*999+……+999x999

=999*(1+2+。+999)

=999*999*500

根据同余的可乘性知

若a≡b(mod m),c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)

999≡11 (mod 13)

500≡6 (mod 13)

故999*999*500≡11*11*6=11*66=11*1=11(mod 13)

余数是11

3. 设这个自然数为n，则

168-5≡518-7≡666-10≡a (mod n)

163≡511≡656≡a (mod n)

故511-163≡656-163≡656-511≡0 (mod n)

即348≡493≡145≡0 (mod n)

12*29≡17*29≡5*29≡0 (mod n)

故n是348,493,145的公约数，n=29

4. 2005-3≡1783-2≡0 (mod n)

即2002≡1781≡0 (mod n)

13*154≡13*137≡0 (mod n) ,(154,137)=1 ），（记号（154,137）表示154与137的最大公约数）

故n是2002,1781的公约数，n=13

5. 因为365≡1 (mod 7)

所以由同余的可乘性，若a≡b(mod m),c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)知

365^365≡1^365 ≡1(mod 7)

是星期六

6. 因为203≡5(mod 6)

所以由同余的可乘性知

203*203*203*203*……*203≡5*5*。*5≡5*25*25*。*25≡5*1*1*。*1≡5 (mod 6)

最后余下5颗

2.奥数题（同余的概念及性质）

1、n=17 解：由题知，（186-16）能被N整除，即170能被N整除。

也即N是170的因数。把170分解，为2*5*17。

又因为N>16（因为余数为16） 所以N只能是17、34、85中的一个。带入“（270-15）能被N整除”验算，知道N=172、余11 解：数列求和公式得：原式=（500*999）*999.因为999/13余11，上式可以看成是“共有（500*999）个999”，因为每个999都余11，所以一共余了“（500*999）个11”，也是余数的和是500*999*11.对此重复上述步骤，简化为“500*11*11”，继续简化，为6*11*11=726,726/13，算得余11.3、29 解：由题知：（168-5）(518-7)(666-10)三数同余。

根据“如果a、b除以c，余数相同，则（a-b）一定能被c整除”，则容易得出c为294、13 解：（2005-1）=2004与1783同余。同上题，（2004-1783）=221能被N整除。

由于221=13*17，则n只能是13或17中的一个。验证知n=135、星期六 解：因为“两个数的积除以a的余数，等于这两个数分别处以a的余数的积”。

365/7余1，所以365的平方/7=1*1=1.也即不管多少个365相乘，除以7的余数始终是1。所以星期五+1=星期六6、5颗 解：和上题同理。

203/6余5，所以203的2005次方除以6的余数为5的2005次方，也就是25的1002次方乘以5。而25除以6的余数为1，所以（25的1002次方乘以5）除以6的余数是5.======================================================本来想直接说的，太麻烦了。

还是定理好用。PS：这不可能是奥数题吧？？。

3.大家告诉我一下奥数题（同余的概念及性质）有点着急了啊,打心底麻

所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5，则我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。

数学上的记法为：

a≡ b(mod d)

可以看出当n<d的时候，所有的n都对d同商，比如时钟上的小时数，都小于12，所以小时数都是模12的同商.

对于同余有三种说法都是等价的，分别为：

(1) a和b是模d同余的.

(2) 存在某个整数n，使得a=b+nd .

(3) d整除a-b.

可以通过换算得出上面三个说话都是正确而且是等价的.

同余问题核心口诀

最小公倍数作周期，余同取余，和同加和，差同减差

”余同取余：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，这个数是60n+1

和同加和：一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，这个数是60n+7

4.十万火急

应用题是小学数学教学中的重点和难点，特别是一些较复杂的应用题，由于数量关系较隐蔽，学生在解题 时很难找出正确的解题思路，会出现这样和那样的问题。

因此，在应用题教学中，教师应教会学生运用已有数 学知识，大胆地想象，力求通过不同方法，从不同角度进行探索，培养发散性思维能力。为此应重视各种解题 思路的训练。

一、对应的思路训练 例1：一户农民养鸡240只，平均5只鸡6天要喂饲料4.5千克。 照这样计算这些鸡15天要喂饲料多少千克？ 写出题中的条件问题： 5只鸡 6天 4.5千克 240只鸡 15天 ？千克 从上面的对应关系可分析出两种方法： ①用归一法先求出1只鸡1天要喂的饲料，再求240只15 天所需的饲料。

即 4.5÷5÷6*240*15=540（千克） 答：240只鸡15天需饲料540千克。 ②每只鸡平均每天用的饲料是一定的，根据倍数关系， 只要求出240只是5只的几倍和15天是6天的几倍， 这个题就可迎刃而解了。

4.5*(240÷5)*(15÷6)=540（千克）（答略） 二、数形结合看图分析训练 例2：修路队三天修了一段公路，第一天修40%，第二天修1/2，第三天修2.5千米。这段公路长多少千米 ？ 先分段画图： 附图{图} 再分析解答：把全段公路看做单位“1”，那么第三天修的2.5千米正好是全段公路的（1-40%-1/2）， 它和2.5相对应，所以全段公路长为： 2.5÷（1-40%-1/2）=25（千米）（答略） 例3：有一桶油第一次取出2/5，第二次取出20千克， 桶里还剩28千克油。

全桶油重多少千克？ 先分段画图： 附图{图} 把整桶油看作单位“1”， 从图中清楚地看出：后两次取出油的总和，正好是第一次取油后余下的部分， 即（1-2/5），它与（20 +28）相对应。 列式计算：（20+28）÷（1-2/5）=80（千克）（答略） 三、一题多解思路的训练 为培养学生的思维能力，引导学生探索解题思路，可对一道题的数量关系进行分析、对比，多角度、多层 次地沟通知识的内在联系。

例4：同学们参加野营活动， 一个同学到负责后勤的老师那里去领碗。老师问他领多少，他说领55个；又 问“多少人吃饭”，他说“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗”。

算一算，这个同学给参加野营活 动的多少人领碗？ 解法一：一般解法 把饭碗数看作单位“1”，则菜碗数是1/2，汤碗数是1/3， 总碗数55与（1+1/2+1/3）相对应，根据 除法意义可求出饭碗数。 55÷（1+1/2+1/3）=30（个） 根据题意，人数与饭碗数相同。

（答略） 解法二：方程解法 设有x人参加野营活动，根据题意，饭碗数x个，菜碗数为x/2，汤碗数为x/3，列方程：x+x/2+x/3= 55，解得x=30。（答略） 解法三：按比例分配解法 把饭碗数看作“1”，则 饭碗数∶菜碗数∶汤碗数 =1∶1/2∶1/3=6∶3∶2 饭碗数是55*6/6+3+2=30（个） 人数与碗数相同。

（答略） 此题解法不只限于以上三种，还有其他解法，这里不再赘述。 四、转化性题组训练 有很多应用题题材不同，但数量关系相同，且解法完全一样。

把这样一些应用题排在一起，有利于学生掌 握问题的实质，找出这类题的解题规律。 有下面一组题： （1）一项工程由甲工程队修建需12天，由乙工程队修建需要20 天。

两队共同修建需要多少天？ （2）甲从东庄走到西庄需要2小时，乙从西庄走到东庄需要3 小时，如果甲、乙分别从东西庄同时相向出 发，需要经过几小时才能相遇？ （3）甲、乙两个童装厂合做一批出口童装，甲厂单独做要20 天完成，乙厂单独做要30天完成。两厂合做 多少天可以完成？ （4）有一水池装有甲、乙两个进水管。

单开甲管需6分钟注满，单开乙管需4分钟注满，两管齐开需多少分 钟注满？ 分析：（1）设工程总量为单位“1”。 甲每天完成工程的1/12，乙每天完成1/20，甲乙合做一天完成工程的1/12+1/20，完成全工程所需天 数为1÷（1/12+1/20）。

(2)设东庄到西庄的路程为单位“1”。 甲、乙二人的速度分别是1/2和1/3，甲、乙每小时走完全程的（1/2+1/3），两人相遇所需时间是1÷ （1/2+1/3）。

(3)设这批童装的总量为单位“1”。 甲厂每天完成的工作量是1/20，乙厂每天完成1/30，两厂合做一天就完成总量的（1/20+1/30），完 成工作后所需天数为1÷（1/20+1/30）。

(4)设水池的容积为单位“1”。根据题意，甲管每分可注水1/6，乙管每分可注水1/4，甲、乙两管齐 开每分钟可注（1/6+1/4），注满所需的时间是1÷（1/6+1/4）。

通过以上的类比训练，可使学生弄清工程问题、相遇问题、工作问题、水管问题。虽然题材不同，但它们 数量关系相同。

这就使知识间的联系在学生的头脑中形成。

5.同余定理内容

同余公式也有许多我们常见的定律，比如相等律，结合律，交换律，传递律….如下面的表示：1)a≡a(mod d)2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d)）→a≡c(mod d)如果a≡x(mod d),b≡m(mod d)，则4)a+b≡x+m (mod d)其中 a≡x (mod d),b≡m(mod d)5)a-b≡x-m (mod d)其中 a≡x (mod d),b≡m (mod d)6)a*b≡x*m (mod d )其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)7)a≡b(mod d)则a-b整除d我们可以用一个圆上的点来表示具有相同余数的数。

比如钟的盘面上的1点时数，表示所有余数为1的数。

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