众文网1.关于均值定理
均值定理：
已知x,y∈R+,x+y=S,x·y=P
(1)如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；
(2)如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。
或
当a、b∈R+,a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab （定值）当且仅当a=b时取等号 。
(3)设X1,X2,X3，……，Xn为大于0的数。
则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn
（一定要熟练掌握）
当a、b、c∈R+, a + b + c = k（定值）时， a+b+c≥3*(3)√（abc）
即abc≤（（a+b+c）/3)^3=k^3/27 （定值） 当且仅当a=b=c时取等号。
例题：1。求x+y-1的最小值。
分析：此题运用了均值定理。∵x+y≥2√xy。 ∴x+y-1≥2√xy -1
2.均值定理谁懂
ab都是正数时
有a+b≥2√（ab）
求最值的时候有用
比如x是正数时，求x+1/x的最小值
x+1/x≥2√（x*1/x）=2
解得原式的最小值为2
应用题中，像这种形式的都可以用均值定理来解
均值定理的推导
（√a-√b）^2=a+b-2√（ab）
∵a,b>0
∴（√a-√b）^2=a+b-2√（ab）≥0
∴a+b≥2√（ab）
3.数学均值定理
均值定理，别称：基本不等式，均值不等式。
均值定理：如果a>0,b>0，那么a+b≥2√ab （当且仅当a=b取等号）。
高中数学中基本不等式的重要知识：常用于求值域，不等式的证明等。
使用时注意要同时满足三个条件：一正，二定，三取等。
例题：
(1)， 当X>1时，X+1/(X-1)的最小值是多少？，此时X=多少？
(2), 1-X²-1/4X²的最大值是多少？
解：
(1)
∵x>1
∴x-1>0
∴X+1/(X-1)
=(x-1)+1/(X-1)+1≥2√（x-1）1/(X-1)+1=3,
∵当（x-1）=1/(X-1)时x=2或x=0（舍）取等号，
∴所求最小值是3，此时X=2.
(2),
∵x²>0,1/x²>0,
∴X²+1/(4X²)≥2√（X²·1/(4X²)）=1
∵当X²=1/(4X²)时，x=±√2/2取等号，
∴X²+1/(4X²)≥1
∴-（X²+1/(4X²)）≤-1
∴ 1-X²-1/(4X²)≤0
∴所求最大值是0.
4.均值定理
已知x,y∈R+,x+y=S,x·y=P(1)如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；（2）如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。
或当a、b∈R+,a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab （定值）当且仅当a=b时取等号 。（3）设X1,X2,X3，……，Xn为大于0的数。
则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn（一定要熟练掌握）当a、b、c∈R+, a + b + c = k（定值）时， a+b+c≥3*(3)√（abc）即abc≤（（a+b+c）/3)^3=k^3/27 （定值） 当且仅当a=b=c时取等号。
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