众文网1.跪求复变函数的论文
4.1.3复变函数项级数 定义4.3设{fn(z)}(n=1, 2， …)为一复变函数列，其中各项均在复数域D上有定义，称表达式∑∞〖〗n=1fn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…（4.2）为复变函数项级数.该级数的前n项和Sn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)为级数的部分和. 若z0为D上的固定点，limn→∞Sn(z)=S(z0)，则称复变函数项级数（4.2）在z0点收敛，z0称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的一个收敛点，收敛点的集合称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的收敛域.若级数∑∞〖〗n=1fn(z)在z0点发散，则称z0为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的发散点，发散点的集合称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的发散域. 若对D内的任意点z，都有limn→∞Sn(z)=S(z)，则称级数∑∞〖〗n=1fn(z)在D内处处收敛.并称S(z)为级数的和函数. 下面我们重点讨论一类特别的解析函数项级数——幂级数，它是复变函数项级数中最简单的情形.4.2幂级数〖〗 在复变函数项级数的定义中，若取fn(z)=an(z-z0)n或fn(z)=anzn(n=1, 2， …)，就得到函数项级数的特殊情形∑∞〖〗n=0an(z-z0)n=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+…+an(z-z0)n+… （4.3）或∑∞〖〗n=0anzn=a0+a1z+a2z2+…+anzn+…（4.4）形如（4.3）或（4.4）的级数称为幂级数，其中，a0, a1， …， an， …和z0均为复常数. 在级数（4.3）中，令z-z0=ξ，则化为式（4.4）的形式，称级数（4.4）为幂级数的标准形式，式（4.3）称为幂级数的一般形式.为方便，今后我们以幂级数的标准形式（4.4）为主来讨论，相关结论可平行推广到幂级数的一般形式（4.3）.4.2.1幂级数的收敛性 关于幂级数收敛问题，我们先介绍下面的定理.定理4.5(Abel定理)若幂级数∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）处收敛，则此级数在|z||z0|内级数发散. 证若∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）处收敛，即级数∑∞〖〗n = 0anzn0收敛，所以limn→∞anzn0=0因而，存在常数M>0使得对所有的n，有|anzn0|所以，∑∞〖〗n=0anzn绝对收敛. 若∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）发散，假设存在一点z1，使得当|z1|>|z0|时，∑∞〖〗n = 0anzn1收敛. 则由上面讨论可知，∑∞〖〗n = 0anzn0收敛，与已知∑∞〖〗n = 0anzn0发散矛盾！因此，∑∞〖〗n=0anzn在|z|>|z0|发散. 由Abel定理，我们可以确定幂级数的收敛范围，对于一个幂级数来说，它的收敛情况有以下三种情形：（1） 对所有正实数z=x， ∑∞〖〗n=0anxn都收敛，由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在复平面上处处绝对收敛；（2） 对所有的正实数x，∑∞〖〗n=0anxn(x≠0)发散，由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在复平面内除原点z=0外处处发散；（3） 既存在使级数收敛的正实数x1>0，也存在使级数发散的正实数x2>0，即z=x1时级数∑∞〖〗n = 0anxn1收敛，z=x2时级数∑∞〖〗n = 0anxn2发散.由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在|z|≤x1内，级数绝对收敛，在|z|≥x2内级数发散. 在情形（3）中，可以证明，一定存在一个有限的正数R，使得幂级数∑∞〖〗n=0anzn在圆|z|R时发散，则称R为幂级数的收敛半径，称|z|约定在第一种情形，R=∞；第二种情形，R=0. 而对于幂级数∑∞〖〗n=0an(z-z0)n，收敛圆是以z0为圆心，R为半径的圆：|z-z0|至于在收敛圆的圆周|z|=R（或|z-z0|=R）上，∑∞〖〗n=0anzn或∑∞〖〗n=0an(z-z0)n的收敛性较难判断，可视具体情况而定. 关于幂级数收敛半径的求法，同实函数的幂级数类似，可以用比值法和根植法.定理4.6（ 幂级数收敛半径的求法）设幂级数∑∞〖〗n=0anzn，若下列条件之一成立：（1） （比值法）limn→∞an+1〖〗an=L;(2) （根值法）limn→∞n〖〗|an|=L.则幂级数∑∞〖〗n=0anzn的收敛半径R=1〖〗L. 证明从略.当L=0时，R=∞；当L=∞时，R=0. 例4.4求下列幂级数的收敛半径：（1） ∑∞〖〗n=1zn〖〗n3（讨论圆周上情形）；（2） ∑∞〖〗n=1(z-1)n〖〗n（讨论z=0, 2的情形）；（3） ∑∞〖〗n=0(cosin)zn. 解（1）因为limn→∞an+1〖〗an=limn→∞1〖〗（n+1）3〖〗1〖〗n3=limn→∞n〖〗n+13=1或者limn→∞n 〖〗|an|=limn→∞n〖〗1〖〗n3=limn→∞1〖〗n〖〗n3=1所以，收敛半径R=1，从而级数的收敛圆为|z|1），所以，级数在圆周|z|=1上也收敛.因此，所给级数的收敛范围为|z|≤1. (2) 由于limn→∞an+1〖〗an=limn→∞1〖〗（n+1）〖〗1〖〗n=limn→∞n〖〗n+1=1，故收敛半径R=1，从而它的收敛圆为|z-1|在圆周|z-1|=1上，当z=0时，原级数成为∑∞〖〗n=1(-1)n1〖〗n（交错级数），所以收敛；当z=2时，原级数为∑∞〖〗n=11〖〗n，发散.表明在收敛圆周上，既有收敛点又有发散点. （3） 由于an=cosin=1〖〗2(en-e-n)，所以limn→∞an+1〖〗an=limn→∞en+1-e-(n+1)〖〗en-e-n=limn→∞en(e-e-2n-1)〖〗en(1-e-2n)=e故收敛半径为R=1〖〗e. 例4.5求幂级数∑∞〖〗n=1(-1)n1+sin1〖〗n-n2zn的收敛半径. 解因为limn→∞n〖〗（-1）n1+sin1〖〗n-n2=limn→∞1+sin1〖〗n-n=limn→∞1+sin1〖〗n1〖〗sin1〖〗n-sin1〖〗n〖〗1〖〗n=e-1故所求收敛半径为R=e. 例4.6求幂级数∑∞〖〗n=1(-i)n-1(2n-1)〖〗2nz2n-1的收敛半径. 解记fn(z)=(-i)n-1(2n-1)〖〗2nz2n-1，则limn→∞fn+1(z)〖〗 fn(z)=limn→∞（2n+1）2n|z|2n+1〖〗（2n-1）2n+1|z|2n-1=1〖〗2|z|2当1〖〗2|z|2当1〖〗2|z|2>1时，即|z|>2时，幂级数发散. 所以，该幂级数的收敛半径为R=2.4.2.2幂级数的运算和性质 和实。
2.毕业论文题目选择
1 函数逼近 2数的进制问题 3无穷维矩阵与序列Bannch空间的关系 4 多媒体课件教学设计----若干中小学数学教学案例 5 从一维，二维空间到欧氏空间 6 初中数学新课程数与代数学习策略研究 7 初中数学新课程统计与概率学习策略研究 8 对中学数学研究性学习开展过程及其途径的思考 9 函数列运算的顺序交换及条件 10儒歇定理的推广和应用（复变函数-辐角原理） 11解析函数的各种等价条件及其应用 12特征函数在概率论中的应用 13数学史与中学教育 14让生活走进数学，将数学应用于生活——谈xx数学方法的应用 15数学竞赛中的数论问题 16新旧教材的对比与研究 17近世代数在中学数学中的应用 18随机变量分布规律的求法 19简述概率论与数理统计的思想方法及其应用 20无穷大量存在的意义 21中学数学竞赛中参数问题 22例谈培养数学思维的深刻性 23圆周率与中学数学史 24从坐标系到向量空间的基 25谈谈反证法 26一致连续性的判断定理及性质 27课堂提问和思维能力的培养 28从数学高考试题的演变看中学数学教育改革 29凸函数及其在证明不等式中的应用 30极值的讨论及其应用 31正难则反，从反面来考虑问题 32实数的构造，完备性及它们的应用 33谈数学创新思维的训练 34简述期望的性质及其作用 35简述概率论与数理统计的思想和方法 36无穷乘积 37由递推式求数列的通项及和 38浅谈划归思想在数学中的应用 39凸函数的定义性质及应用 40行列式的计算方法 41可行解的表式定理的证明 42直觉思维在中学数学中的应用 43高等数学在中学数学中的应用 44充分挖掘例题的数学价值和智力开发功能 45数学思想方法的一支奇葩-----数学猜想初探 46关于实变函数中叶果罗夫定理的鲁津定理的证明 47关于黎曼积分的定义 48常微分方程的历史发展 49概率论发展史及其简单应用 50中学数学教学中创新思维的培养策略 51对数学教学中使用多媒体的几点思考 52矩阵特征值的计算方法初探 53数学结合思想及其应用 54关于上.下确界，上.下极限的定义，性质及应用 55复均方可积随机变量空间的讨论 56浅谈中学数学的等价转换 57车灯线光源的优化设计模型 58中学数学中的变式教学设计 59欧几里得第五公设产生背景及其对数学发展影响 60中学数学问题解决的学习策略研究 61变分法 62抽屉原理的应用及推广 63浅议函数迭代及其表达式 64加强数形结合，提高解题能力 65函数性质的应用 66求初等函数的值域 67中学数学应用意识的研究 68初中数学新课程空间与图形学习策略与研究 69浅谈分类讨论及解题应用 70排序方法及其应用 71从数学应用意识的培养看数学基础教育改革 72函数的凸性及其在不等式中的应用 73建构主义理论指导下的数学教学案例 74中学课程数学教学思想方法教学初探 75大学生数学素质教育思考 76数学归纳法教学探究 77师范学生高等数学课程内容设置的探讨 78统计学在证券市场中的应用 79关于全概率公式及其应用的研究 80数学开放式教学的基本理念与策略 81变量代换法与常微分方程的求解 83奥赛中组合计算方法及应用 84代数结构中同态及同构的性质 85综述十八世纪著名数学家及其工作 86谈谈不定方程 87从不定方程到孙子兵法 88略谈我国古代的数学成就 89分类思想在中学数学中的应用 90从笛卡尔的“万能代数模型”谈函数与方程的思想 91数学美在中学数学教学中的育人功能初探 92新课程理念下中学教师行为的改变 93对各种导数的研究 94不等式解法大观 95谈谈“隐函数” 96有限维矩阵的范数计算与估计 97数学奥赛中数论问题的解题方法研究 98猜想和联想 99微分方程积分因子的研究 100数的趣谈 101泰勒公式 102解析函数的孤立奇点的分类及其判断方法 103最大模原理的推广及其应用 104π的奥秘——从圆周率到统计 105对现代信息技术辅助数学及其发展的几点思考 106无理数e的发现及其应用 107初中数学新课程综合实践活动策略研究 108闭区间套定理的推广和应用 109函数的上下极限及其应用 110度量空间 111关于多值函数的解析理论探讨 112数论中一两个问题 113正多边形的对角线与边长的公度问题 114比较函数法在常微分方程中的应用 115数学分析的直观与严密 116浅谈中学数学中的构造法 117谈待定系数法在中学解题中的应用 118常微分方程与初等数学 119求随机函数的分布函数和分布密度的方法 120条件期望的性质及其应用 121从高中数学课程改革看未来的高师数学系的本科教学 122课程改革中未来高中数学教师角色的扮演 123向量代数在中学中的应用 124凸函数的等价命题及其应用 125带权图的若干应用 126有界变差函数的定义及其性质 127初等函数的极值 128数学竟赛中的不等式问题 129常微分方程各种解的定义，关系及判定方法 130三阶变系数线性常微分方程 131常微分方程的发展及应用 132常微分方程的初等解法求解技巧 133常系数线性方程组基解矩阵的计算 134高阶方程的降阶计巧。
3.我是一名数学系毕业生,现在正在书写毕业论文,我想了解一下幂级数
使用CNKI的学术趋势查找 全文文献 工具书 数 字 学术定义 翻译助手 学术趋势 更 多 搜索帮助 意见反馈 幂级数 -------------------------------------------------------------------------------- 历史事件： 1994年，苏瑟兰德（Sutherland）成功的利用幂级数解法证明了该模型可以解释汇率的峰形分布和汇率与利率差之间的不确定相关关系。
1989年，刘人怀发展了Way的方法，提出修正幂级数法，求解了计及表层抗弯刚度的夹层圆板的大挠度方程。 1944年，Bethe【川用标量势函数近似方法求出了幂级数的首项，从而得到圆孔衍射场的远场解。
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4.谈谈学习了复变函数这门课的感受,认识及其建议
复变函数---虽被纯数学所歧视，但现代数学人人都离不开它。
复变函数的柱石---柯西积分公式，把可微复函数与复幂级数联系起来，现代数学一刻也离不开它。
首先，黎曼利用它把zeta函数延拓到整个复平面，这一成果成为后世追随者的崇拜对象。调和分析
复方法，第一个必须引用柯西积分公式。由于其基础性的作用，代数复几何，如基本的霍奇定理，
解析数论（更是完全依赖zeta函数的解析性质） 如素数大定理的非初等证明，素数分布的诸多结论，
都极端依赖于可微复函数和幂解析的等价性。
略微知晓现代数学的结论的人如我，都晓得，复变函数对现代数学意味着什么。然而
可微复函数和幂解析的等价性不成立，Gamma函数，zeta函数就是反例，问题就发生在柯西积分
公式，柯西的杰出之处---在我们看来，体现在它的证明上就是把围道的积分极限为围道小至一点的
积分，这不错，然而，他接下来的计算出错了， 这个极限的意思是，计算有限围道的积分，再作积
分的极限。 但他以小至一点的围道的无穷小分析代替之。
这类错误在极限理论不发达的柯西时代司空见惯， 然而非常奇怪，当其他错误结论消失已久之后
柯西的结论却幸存下来，并且“发扬光大”。
复变函数何其重要，看看fields 奖的各届名单吧，抽去支撑的棉梗--柯西积分公式，还有几人能
不化为灰烬。
不仅如此，还有更可悲的错误，在数学界，有一段仿佛把一些不完整的围道，如两条平行线，也
当作完整围道处理，虽然我的高中老师也能指出其错误，但是它也被后人继承下来当作正确的做法，
Langlands纲领的吊颈绳---hecke反定理是一例。
历史上复变函数是一笔了不完的帐。
5.函数的复变函数
复变函数是定义域为复数集合的函数。
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
复变函数论的发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就象微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论的内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。
如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。
对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。
关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。
导数处处不是零的解析函数所实现的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。
留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。
应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。
把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。
解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。
因此，自2002年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。
它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。
2002年，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
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