众文网1.同余方程怎么解
同余方程是一个数学方程式。该方程式的内容为。
对于一组整数Z,Z里的每一个数都除以同一个数m，得到的余数可以为0,1,2,。m-1，共m种。
就以余数的大小作为标准将Z分为m类。每一类都有相同的余数。
设是整数，当时，成立，则称是同余方程的解。
凡对于模同余的解，被视为同一个解。
同余方程的解数是指它的关于模互不相余的所有解的个数，也即在模的一个完全剩余系中的解的个数。
数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
2.同余方程组解法
我写个简例吧：AAA解法：解同余式组：x≡1(mod5) x≡2(mod11) 解：中国剩余定理的等效解法 令x=5a+11b +55t 亦即 x==5a+11b mod 5*11 代入原同余式组得11b==1 mod 55a==2 mod 11 解得b==1 mod 5, a=-4==7 mod 11 取任意一组特解如b=1,a=7代入得 x==5*7+11*1=46 mod 55 BBB解的数量之判定法：对于多个模并非两两互质的情况，可以先确立一组两两互质的分解基数集（质数集是一个常用的特例），将这些模用分解基数表示成为多个因数项，将其中相关于同一个分解基数的项进行归并。
如果有矛盾，则无解。否则有解。
例：同余式组 x=2 mod 16 x=3 mod 5 x=6 mod 12 取4, 3, 5作为分解基。变成 x=2 mod 4^2 x=3 mod 5 x=6 mod 4 x=6 mod 3 其中相关于同一个分解基数的情况，仅有x=2 mod 16与x=6 mod 4是相关于分解基数"4"的，它们没有矛盾。
取两相容解集的交集，即其中解集较小的那个：x=2 mod 16.再与x=3 mod 5及x=6==0 mod 3联立求解。另例：x=2 mod 18 x=8 mod 12 以3,2为分解基。
相关于分解基数3的转化式有x=2 mod 3^2, x=2 mod 3， 取前者。相关于分解基数2的转化式有x=0 mod 2, x=0 mod 4， 取后者。
另例：同余式组 x=3 mod 12 x=2 mod 18 以2,3为分解基集，于是原同余式组变成 x==3 mod 2^2 x==3 mod 3 x==2 mod 3^2 x==2 mod 2 矛盾。故此同余式无解。
如果是形如 ax=b mod m形状的同余式联立的，则可能出现无解、一解、多解的情况。一个基本的例子如下：12x=18 mod 27 注：相当于12x=9+18k 自然就等价于同余式4x=3 mod 9 解得x=3 mod 9， 转化为模27的同余式，为 x=3,12,21 mod 27 AAAAAA快速计算法 例如同余式组（以下用==表示同余号） x==2 mod 5-2 mod 6-3 mod 7 对中国剩余定理一个简单的改进可以是这样：令 x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7 即x=6*7*a+5*7*b+5*6* c+ 5*6*7 t 代入原题即得6*7*a==2 mod 55*7*b==-2 mod 65*6*c==-3 mod 7 求得 a==1 mod 3， 或者说是形如-1+3u的任意整数。
b=2 mod 5, 。c=2 mod 7 剩下的就是如果计算出x来了。
下面也给了简化方法。从下面这个式子上看 x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7=5*6*7*(a/5+b/6+c/7 mod 1) 注意，这个式子极具有启发性！我们看到，我们需要的x的值，只要取以5*6*7作分母时的分数（a/5+b/6+c/7） 的分子就行了，如果我们将 a/5+b/6+c/7表示成带分数，即整数加真分数的形式。
还可以发现，如果要取最小正整数解，就取这个真分数的分子就形子。
在计算过程中，任意加减一个整数，造成数的增大和变小，并不影响我们的结果。同时，任意交换加项，也不影响。
下面我们来计算：1/5+2/6+2/7 mod 1=16/30+2/7=172/210 再例：这是我刚答的一道题，讲的较为明确精炼，请参考。一个数÷5余1，÷7余3，÷9余2，这个数最小是几？题目转化为同余式组 x==1 mod 5 x==3 mod 7 x==2 mod 9 解：令x==7*9*a+5*9*b+5*7*c mod 5*7*9 即x=7*9*a+5*9*b+5*7*c+5*7*9*t 即x==5*7*9*(a/5+b/7+c/9 mod 1) 即x=5*7*9*(a/5+b/7+c/9+t) 代入原同余式组得7*9*a==1 mod 5 ， 于是a==2 mod 5， 取其特值2为代表。
5*9*b ==3 mod 7，于是b==1 mod 7，取其特值1为代表。5*7*c==2 mod 9，于是c==-2 mod 9，取其特值-2为代表。
再以 x==5*7*9*(a/5+b/7+c/9 mod 1)为求值式，进行计算。先计算（a/5+b/7+c/9 mod 1） 注意，计算过程中，任一个加项或整体值上可以加减任一个整数，不影响。
同时，在计算时，可以充分运用加法的交换律与结合律，随意调整加法项的位置与加法过程的顺序。其中，mod 1这个提法一定要理解，这样可以为解同余式组带来极大的方便。
mod 1表示两个对象相差一个整数值。如果mod用来表示求余，则表示求一个数的小数部分；如果N==0 mod 1，即说明N为整数。
2/5+1/7-2/9 mod 1 ==2/5-2/9+1/7==8/45+1/7==101/45*7==101/315 于是x==101 mod 315 这个数最小为 101。
3.线性同余方程的线性同余方程组
线性同余方程组的求解可以分解为求若干个线性同余方程。比如，知对于线性同余方程组：
2x ≡道 2 (mod 6)
3x ≡ 2 (mod 7)
2x ≡ 4 (mod 8)
首先求解第一个方程，得到x ≡ 1 (mod 3)，于是令x = 3k + 1，第二个方程就变为：
9k ≡ −1 (mod 7)
解得k ≡ 3 (mod 7)。于是，再令k = 7l + 3，第三个方程就可以化为：
42l ≡ −16 (mod 8)
解出：版l ≡ 0 (mod 4)，即 l = 4m。代入原来的表达式就有 x = 21(4m) + 10 = 84m + 10，即解为：
x ≡ 10 (mod 84)
对于一般情况下是否有解，以及解得情况，则需用到数论中的中国剩余定权理。
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