众文网1.【研究矩阵的相似对角化的意义】
理论上看，意义是明显的.相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的.相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了.而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便.这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究.另外，对角化突出了矩阵的特征值，而过度矩阵T反映了特征向量的信息，对角化过程的直观意义还是很明显的.再结合正交矩阵的概念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化.实践中的矩阵对角化作用也很大.别的不说，比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂，n较大时，按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的，计算复杂度呈指数型增长.但是如果把A可以对角化（实对称矩阵总是可以对角化的），写为=T^(-1)PT,P是对角阵.那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的计算是很简单的，只要把各特征值^n即可，此时计算A^n的复杂度几乎与n无关.以上纯属个人见解，仅供LZ参考：）。
2.矩阵对角化
第一个问题，你的概念没有理解清楚。判断A是否可以相似对角化，是看A是否有n个线性无关的特征向量，不同特征值的特征向量是线性无关的，所以如果A有n个不同的特征值，那它一定可以相似对角化，本题中，由于A的秩为1，于是AX=0的解向量的个数是n-1，也就是说，A关于特征值是0的特征向量的线性无关的个数是n-1，除此之外，它还有一个非0特征值的特征向量（不可能所有特征值都是0，否则秩就是0了），因此，总的线性无关的特征向量的个数是n，它可以对角化。
第二个问题，两个非0向量相乘，实际上就是把第一个向量的第一个元素分别乘第二个向量的每个元素，然后写在第一排，再把第一个向量的第二个元素分别乘第二个向量的每个元素，然后写在第二排，以此类推（你只要自己举个例子，按我说的方法试一下就能看出来了），所以任意两行成比例，它的秩为1.
3.矩阵对角化
普通矩阵对角化时要存在n个线性无关的的向量，即普通矩阵相似于对角矩阵，这时相似变换的矩阵P是以n个线性无关的的向量为列向量构成的，故为可逆的。但也可以将这组线性无关的的向量正交化，变成正交阵，但一般没有要求。
对于是对称矩阵，存在正交阵，但求对角阵时可以求出正交阵，也可以不求，而只求出可逆阵就可。求出正交阵的目的是保形，因为正交变换为保形变换。
普通矩阵对角化与对称矩阵对角化不同的是：对称矩阵一定可以对角化，而普通矩阵未必可以对角化。
4.矩阵可对角化的具体条件的理解通俗易懂些
n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：1.n阶方阵存在n个线性无关的特征向量 推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵2.如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重 复次数现在从矩阵对角化的过程中，来说说这个条件是怎么来的.在矩阵的特征问题中，特征向量有一个很好的性质，即Aa=λa.假设一种特殊的情形，A有n个不同的特征值λi，即Aai=λi*ai.令矩阵P=[a1 a2 。
an]这样以来AP=A*[a1 a2 。 an]=[A*a1 A*a2 。
A*an]=[λ1*a1 λ2*a2 。 λn*an]=P*B，其中B是对角阵.B=λ1 0 0 。
0 λ2 0 。
。 。
。0 0 0 λn由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的，那么P是可逆矩阵，将上面等式换一种描述就是A=P*B*P-1 ，这也就是A相似与对角阵B定义了.在这个过程中，A要能对角化有两点很重要：P是怎么构成的？P由n个线性无关的向量组成，并且向量来自A的特征向量空间.P要满足可逆.什么情况下P可逆？矩阵可对角化的条件，其实就是在问什么情况下P可逆？如果A由n个不同的特征值，1个特征值-对应1个特征向量，那么就很容易找到n个线性无关的特征向量，让他们组成P；但是如果A有某个λ是个重根呢？比如λ=3，是个3重根.我们 知道对应的特征方程（3I-A）x=0不一定有3个线性无关的解.如果λ=3找不到3个线性无关的解，那么A就不能对角化了，这是因为能让A对角化的P矩阵不存在.。
5.研究矩阵的相似对角化的意义
理论上看，意义是明显的。相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。
另外，对角化突出了矩阵的特征值，而过度矩阵T反映了特征向量的信息，对角化过程的直观意义还是很明显的。再结合正交矩阵的概念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化。
实践中的矩阵对角化作用也很大。别的不说，比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂，n较大时，按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的，计算复杂度呈指数型增长。但是如果把A可以对角化（实对称矩阵总是可以对角化的），写为=T^(-1)PT, P是对角阵。那么A^n=T^(-1)P^nT, P^n的计算是很简单的，只要把各特征值^n即可，此时计算A^n的复杂度几乎与n无关。
以上纯属个人见解，仅供LZ参考：）
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