众文网1.如何判断一个多项式是不是不可约多项式
实际上，可约多项式就是可以在某个要求的范围内（如整系数多项式）可以被因式分解的多项式，所以如果你发现它可以被因式分解，那么它一定是一个可约多项式。
另一方面，我们还有很多方法可以判断它是一个不可约的多项式（如果你找很久也没有找到分解因式的方法的话），例如：1.在模某个数的意义下分解，如果某个多项式可以被因式分解，那么它在模任何一个正整数m的意义下仍可以被因式分解，一般模素数p，更简单的有时可以模2;2.考虑艾森斯坦判别法，它的内容是：对f(x)=anx∧n+an-1x∧n-1+。
+a1x+a0，若存在素数p，使p不整除an，而且任意ai(0≤i≤n-1),p|ai，而且p²不整除a0，那么f(x)是不可约多项式。
2.艾森斯坦判别法的推广及应用
这是一个判别整系数多项式在有理数域上是否可约的常用方法之一，是一个判定多项式是否可约的充分但不必要条件，定理是说： 设f(x)=a0+a1x+a2x^2+。。+anx^n 是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p，使得 （1）最高次项系数an不能被p整除 （2）其余各项的系数都能被p整除 （3）常数项a0不能被p^2整除 那么多项式f(x)在有理数域上不可约。
编辑本段例子
对于素数p，多项式1+x+。+x^{p-1}是p阶分圆多项式，求证这个多项式不可约。如果直接使用艾森斯坦判别法，我们可以发现这个多项式并不满足条件，这里也说明了这个方法不是判定多项式是否可约的必要条件。现在我们做变量替换x=y+1，于是多项式变成（（y+1）^p-1)/p，于是除了首项系数为1外，其余各项都是p的倍数（这个是因为对于素数p，以及1编辑本段证明
假设多项式f(x)满足条件而且可约，由于这个多项式模p为a_n*x^n，也就是f(x)=a_n*x^n(mod p).所以如果它可以写成两个多项式乘积假设f(x)=u(x)*v(x)=a_n*x^n(mod p).于是在模p下面u(x)和v(x)都必须是c*x^d这种形式，也就是u(x),v(x)除了最高项系数以外，其余系数都是p的倍数。于是p|u(0),p|v(0)，得到p^2|f(0)，也就是f(x)的常数项必须是p^2的倍数，矛盾，所以定理得到证明。
3.求高等代数的课程论文题目
课程论文选题参考1.《高等代数》课程学习感悟2.《高等代数》中的。
思想3.《高等代数》中的。
方法4.高等代数与解析几何的关联性5.高等代数有关理论的等价命题6.高等代数有关理论的几何描述7.高等代数有关理论的应用实例8.高等代数知识在有关课程学习中的应用9.数学软件在高等代数学习中的应用10.应用高等代数知识的数学建模案例11.高等代数理论在金融中的应用12.反例在高等代数中的应用13.行列式理论的应用性研究14.一些特殊行列式的应用15.行列式计算方法综述16.范德蒙行列式的一些应用17.线性方程组的应用；18.线性方程组的推广——从向量到矩阵19.关于向量组的极大无关组20.向量组线性相关与线性无关的判别方法21.线性方程组求解方法综述 22.求解线性方程组的直接法与迭代法23.向量的应用24.矩阵多项式的性质及应用25.矩阵可逆的若干判别方法26.矩阵秩的不等式的讨论（应用）27.关于矩阵的伴随矩阵28.矩阵运算在经济中的应用29.关于分块矩阵30.分块矩阵的初等变换及应用31.矩阵初等变换及应用32.矩阵变换的几何特征33.二次型正定性及应用34.二次型的化简及应用35.化二次型为标准型的方法36.矩阵对角化的应用37.矩阵标准形的思想及应用38.矩阵在各种变换下的不变量及其应用39.线性变换的应用40.特征值与特征向量的应用41.关于线性变换的若干问题42.关于欧氏空间的若干问题43.矩阵等价、合同、相似的关联性及应用44.线性变换的命题与矩阵命题的相互转换问题45.线性空间与欧氏空间46.初等行变换在向量空间Pn中的应用47.哈密顿-凯莱定理及其应用48.施密特正交化方法的几何意义及其应用49.不变子空间与若当标准型之间的关系50.多项式不可约的判别方法及应用51.二次型的矩阵性质与应用52.分块矩阵及其应用53.欧氏空间中的正交变换及其几何应用54.对称矩阵的性质与应用55.求两个子空间的交与和的维数和一个基的方法56.关于n维欧氏空间子空间的正交补57.求若当标准形的几种方法58.相似矩阵的若干应用59.矩阵相似的若干判定方法60.正交矩阵的若干性质61.实对称矩阵正定性的若干等价条件62.欧氏空间中正交问题的探讨63.矩阵特征根及其在解题中的应用64.矩阵的特征值与特征向量的应用65.行列式在代数与几何中的简单应用66.欧氏空间内积不等式的应用67.求标准正交基的若干方法研究68.高等代数理论在经济学中的应用69.矩阵中的最小二乘法70.常见线性空间与欧式空间的基与标准正交基的求法。
4.不可约多项式
反证法，假设P_n(x)在有理数域内可约，则P_n(x)=0至少有一有理根，设其为b/a,
则 P_n(b/a)=f(P_n-1(b/a)+2) -2 =(P_n-1(b/a)+2) [5-(P_n-1(b/a)+2)] -2 =0
即 P_n-1(b/a)+2 为 x(5-x)-2=0 的根， x(5-x)-2=0 的根 为（5+√17）/2 或（5-√17）/2 ,
所以 P_n-1(b/a)+2 = 无理数 ， P_n-1(x)+2 =ff……f(x)为有理多项式，b/a为有理数
所以 P_n-1(b/a)+2=有理数 ≠ 无理数，矛盾
所以P_n(x)在有理数域内不可约
5.求高等代数的课程论文题目
课程论文选题参考
1.《高等代数》课程学习感悟
2.《高等代数》中的。。。。思想
3.《高等代数》中的。。。。方法
4.高等代数与解析几何的关联性
5.高等代数有关理论的等价命题
6.高等代数有关理论的几何描述
7.高等代数有关理论的应用实例
8.高等代数知识在有关课程学习中的应用
9.数学软件在高等代数学习中的应用
10.应用高等代数知识的数学建模案例
11.高等代数理论在金融中的应用
12.反例在高等代数中的应用
13.行列式理论的应用性研究
14.一些特殊行列式的应用
15.行列式计算方法综述
16.范德蒙行列式的一些应用
17.线性方程组的应用；
18.线性方程组的推广——从向量到矩阵
19.关于向量组的极大无关组
20.向量组线性相关与线性无关的判别方法
21.线性方程组求解方法综述
22.求解线性方程组的直接法与迭代法
23.向量的应用
24.矩阵多项式的性质及应用
25.矩阵可逆的若干判别方法
26.矩阵秩的不等式的讨论（应用）
27.关于矩阵的伴随矩阵
28.矩阵运算在经济中的应用
29.关于分块矩阵
30.分块矩阵的初等变换及应用
31.矩阵初等变换及应用
32.矩阵变换的几何特征
33.二次型正定性及应用
34.二次型的化简及应用
35.化二次型为标准型的方法
36.矩阵对角化的应用
37.矩阵标准形的思想及应用
38.矩阵在各种变换下的不变量及其应用
39.线性变换的应用
40.特征值与特征向量的应用
41.关于线性变换的若干问题
42.关于欧氏空间的若干问题
43.矩阵等价、合同、相似的关联性及应用
44.线性变换的命题与矩阵命题的相互转换问题
45.线性空间与欧氏空间
46.初等行变换在向量空间Pn中的应用
47.哈密顿-凯莱定理及其应用
48.施密特正交化方法的几何意义及其应用
49.不变子空间与若当标准型之间的关系
50.多项式不可约的判别方法及应用
51.二次型的矩阵性质与应用
52.分块矩阵及其应用
53.欧氏空间中的正交变换及其几何应用
54.对称矩阵的性质与应用
55.求两个子空间的交与和的维数和一个基的方法
56.关于n维欧氏空间子空间的正交补
57.求若当标准形的几种方法
58.相似矩阵的若干应用
59.矩阵相似的若干判定方法
60.正交矩阵的若干性质
61.实对称矩阵正定性的若干等价条件
62.欧氏空间中正交问题的探讨
63.矩阵特征根及其在解题中的应用
64.矩阵的特征值与特征向量的应用
65.行列式在代数与几何中的简单应用
66.欧氏空间内积不等式的应用
67.求标准正交基的若干方法研究
68.高等代数理论在经济学中的应用
69.矩阵中的最小二乘法
70.常见线性空间与欧式空间的基与标准正交基的求法
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