众文网1.函数奇偶性和区域对称性对定积分的作用和意义
给你举个例子： ∫xe^x²dx，积分区间[-2,2]， 一看积分区间关于原点对称，马上考擦被积函数的奇偶性。
一看为奇函数，不用算结果为0。 再举一例： ∫∫（x+y）^2dxdy 积分区域D为x^2+y^2=1 首先化解一下∫∫（x^2+y^2+2xy）dxdy=∫∫x^2dxdy+∫∫y^2dxdy+2∫∫xydxdy 我们一看区域D关于x对称，马上考查被积函数y的奇偶性，2∫∫xydxdy项直接为0。
下面给你总结一下： 一元积分若区间关于原点对称考查被积函数的奇偶性，若为奇函数，结果为0。 二元积分若区域关于x轴对称，马上考查被积函数y的奇偶性；若为奇函数则结果为0。
关于偶函数我没说，因为它还是涉及了计算，不像奇函数那样直接为0。 若是感兴趣的话可以看一下相关的资料。
2.帮忙研究下：对称性在中学数学教学中的应用
对称性
数学 在方程F(x,y)=0里，若以-x代x而方程不变，则它的曲线关于y轴对称；若对-y代y而方程不变，则它的曲线关于x轴对称；若以-x代x，同时以-y代y而方程不变，则它的曲线关于原点对称.
[编辑本段]物理学
对称性[1](symmetry)是现代物理学中的一个核心概念，它泛指规范对称性（gauge symmetry） ， 或局域对称性local symmetry）和整体对称性（global symmetry）。它是指一个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性。如果这些变数随时空变化，这个不变性被称为规范对称性，反之则被称为整体对称性。物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。
数学上，这些对称性由群论来表述。上述例子中的群分别对应著伽利略群，洛伦兹群和U(1)群。对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry）和分立对称性（discrete symmetry）。德国数学家外尔（Hermann Weyl）是把这套数学方法运用於物理学中并意识到规范对称重要性的第一人。
1950年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式，并构造了核作用的SU(2)规范理论。从此，规范对称性被大量应用於量子场论和粒子物理模型中。在粒子物理的标准模型中，强相互作用，弱相互作用和电磁相互作用的规范群分别为SU(3),SU(2)和U(1)。除此之外，其他群也被理论物理学家广泛地应用，如大统一模型中的SU(5),SO(10)和E6群，超弦理论中的SO(32)。
考虑下面的变换：将位于某根轴的一边的所有点都反射到轴的另一边，从而建立一个系统的镜像。如果该系统在操作前后保持不变，则该系统具有反射对称性。反射下的不变性（比如人体的两边对称性）与转动下的不变性（比如足球的转动对称性）相当不同。前者是分立对称性，而后者是连续对称性 。连续对称性对任意小变换均成立，而分立对称性却有一个变换单位，两者在物理学中都起重要作用。
[编辑本段]工艺
Symmetry 对称性，钻石切割打磨后获得的各部分的围绕中心点的水平对称， 即切面排列及相互的角度。与比率一样同为评价二的重要指标。如果一颗钻石的车工及比例均属优良，对称的切割会令闪光及火采更加强烈。国外证书关于对称性的评价较为详细，从高到低依次有 ideal (ID), excellent (EX)（或Premium）, very good (VG) ,fair (F) ,poor (P)。
日常生活
日常生活中常说的对称性，是指物体或一个系统各部分之间的适当比例、平衡、协调一致，从而产生一种简单性和美感。
3.积分对称性运用的条件
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积分的对称性定积分的对称性当f(x)在[a,a]上连续，则有f(x)dxf(x)f(x)dxa0aa且有①f(x)为偶函数，则af(x)dx20aaf(x)dx;a②f(x)为奇函数，则af(x)dx0.二重积分的对称性利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用If(x,y)dxdyD①若D关于x轴对称（1）当f(x,y)f(x,y)时I0(2)当f(x,y)f(x,y)时I2f(x,y)dxdyD2(x,y)D,y0D2②若D关于y轴对称（1）当f(x,y)f(x,y)时I0(2)当f(x,y)f(x,y)时I2f(x,y)dxdyD1(x,y)(x,y)D,x0D1③若D关于原点对称（1）当f(x,y)f(x,y)时I0(2)当f(x,y)f(x,y)时I2f(x,y)dxdyD3(x,y)D,x0,y0D3①、②、③简单地说就是奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质三重积分的对称性使用对称性时应注意：1、积分区域关于坐标面
4.对称性在电路分析中的应用
利用对称性可以更加方便地分析电路。比如利用对称性可以找到电位相等的点，从而确定各元件间的关系，做出电路的等效电路，计算出等效电阻；电桥电路中，若电桥平衡，即相应桥臂阻抗乘积相等则桥支路形同短路，即4条桥臂支路两两互连的节点电位相等；又如根据电路的对称性可以利用中分定理，按此定理，对称激励的对称电路可以从中分线切开，并对交叉连线切口处分别在中分线两边将断点短接，整个电路的工作状态不会改变，即对于对称激励对称电路只需分析一半就够了。而对反对称激励的对称电路，其对接连线与中分连线的交点为等位点。利用对称性还可以在正弦稳态电路的分析中为利用位形图或相量图分析电路提供便利等。
你可以从上述各方面找一个切入点入手，重点写一个方面，然后列举利用对称性简化分析电路的优点和好处，及应用举例。可参看有关电路理论的教材。论文应该不会很难写的，加油！
5.积分的对称性
一个是积分区域，另一个是被积函数，这两个不是一回事，比如说f(x,y)= xy，显然f(-x,y)= -xy 那么f(x,y)+f(-x,y)=0 这时候f(x,y)关于x就是奇函数，因为只对x进行讨论的时候，就把y看作是常数，而对于f(x,y)=x2y, f(x,y)=f(-x,y)，这时候f(x,y)关于x就是偶函数在对奇函数积分过后就得到了偶函数，那么显然代入互为相反数的上下限相减就是0 所以在积分区域D1和D2关于y轴对称，被积函数关于X为奇函数时， ∫∫ （D1+D2） f(x,y)=0。
6.三重积分的三重积分的对称性及其应用
设Ω为空间有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续； 如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f(x,y,z)关于z（或y或x）为奇函数，则：∫∫∫f(x,y,z)dv=0.Ω 如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f(x,y,z)关于z（或y或x）为偶函数，则：∫∫∫f(x,y,z)dV=2∫∫∫f(x,y,z)dvΩ Ω1 如果Ω与Ω'关于平面y=x对称，则：∫∫∫f(x,y,z)dv=∫∫∫f(y,x,z)dvΩ Ω'1。