不等式证明的若干方法毕业论文(急求：不等式的证明方法的文献综述)

1.急求：不等式的证明方法的文献综述

1.不等式的基本性质：

性质1：如果a>b,b>c，那么a>c（不等式的传递性）.

性质2：如果a>b，那么a+c>b+c（不等式的可加性）.

性质3：如果a>b,c>0，那么ac>bc；如果a>b,c<0，那么acb,c>d，那么a+c>b+d.

性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.

性质6：如果a>b>0,n∈N,n>1，那么an>bn，且.

例1：判断下列命题的真假，并说明理由.

若a>b,c=d，则ac2>bd2；（假）

若，则a>b；（真）

若a>b且ab<0，则；（假）

若a若，则a>b；（真）

若|a|b2；（充要条件）

命题A:a命题A：，命题B:0说明：本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程，在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.

a,b∈R且a>b，比较a3-b3与ab2-a2b的大小.（≥）

说明：强调在最后一步中，说明等号取到的情况，为今后基本不等式求最值作思维准备.

例4：设a>b,n是偶数且n∈N*，试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.

说明：本例条件是a>b，与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件，为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b，可由三种情况（1）a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.

练习：

1.若a≠0，比较（a2+1）2与a4+a2+1的大小.（>）

2.若a>0,b>0且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.（>）

3.判断下列命题的真假，并说明理由.

(1)若a>b，则a2>b2；（假） （2）若a>b，则a3>b3；（真）

(3)若a>b，则ac2>bc2；（假） （4）若，则a>b；（真）

若a>b,c>d，则a-d>b-c.（真）.

2.急求：不等式的证明方法的文献综述

1.不等式的基本性质：

性质1：如果a>b,b>c，那么a>c（不等式的传递性）.

性质2：如果a>b，那么a+c>b+c（不等式的可加性）.

性质3：如果a>b,c>0，那么ac>bc；如果a>b,c<0，那么acb,c>d，那么a+c>b+d.

性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.

性质6：如果a>b>0,n∈N,n>1，那么an>bn，且.

例1：判断下列命题的真假，并说明理由.

若a>b,c=d，则ac2>bd2；（假）

若，则a>b；（真）

若a>b且ab<0，则；（假）

若a若，则a>b；（真）

若|a|b2；（充要条件）

命题A:a命题A：，命题B:0说明：本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程，在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.

a,b∈R且a>b，比较a3-b3与ab2-a2b的大小.（≥）

说明：强调在最后一步中，说明等号取到的情况，为今后基本不等式求最值作思维准备.

例4：设a>b,n是偶数且n∈N*，试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.

说明：本例条件是a>b，与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件，为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b，可由三种情况（1）a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.

练习：

1.若a≠0，比较（a2+1）2与a4+a2+1的大小.（>）

2.若a>0,b>0且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.（>）

3.判断下列命题的真假，并说明理由.

(1)若a>b，则a2>b2；（假） （2）若a>b，则a3>b3；（真）

(3)若a>b，则ac2>bc2；（假） （4）若，则a>b；（真）

若a>b,c>d，则a-d>b-c.（真）.

3.不等式的证明

不等式的证明的方法有很多种，以下就由我们写论文网 / 为您总结几种。

1.比较法 作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小 作差比较法-----要证明a>b，只要证明a-b>0. 作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b，只要证明a/b>1 例1求证：x2+3>3x 证明：∵（x2+3）-3x=x2-3x+()2-()2+3 =+≥>0 ∴x2+3>3x 例2已知a,bR+，并且a≠b，求证 a5+b5>a3b2+a2b3 证明：（a5+b5）-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) ∵a,bR+ ∴a+b>0,a2+ab+b2>0 又因为a≠b，所以（a-b）2>0 ∴（a+b）(a-b)2(a2+ab+b2)>0 即（a5+b5）-(a3b2+a2b3)>0 ∴a5+b5>a3b2+a2b3 例3已知a,bR+，求证：aabb≥abba 证明：= ∵a,bR+，当a>b时，>1,a-b>0,>1； 当a≤b时，≤1,a-b≤0，≥1. ∴≥1，即aabb≥abba 综合法 了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式 定理1如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取"="号） 证明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 当且仅当a=b时取等号.所以 a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）. 定理2如果a,b,cR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取"="号） 证明：∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0 ∴a3+b3+c3≥3abc， 很明显，当且仅当a=b=c时取等号. 例1已知a,b,c是不全等的正数，求证 a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc. 放缩法 这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等式的传递性— a≤b,b≤c，则a≤c，只要证明"大于或等于a的"b≤c就行了. 例，证明当k是大于1的整数时，， 我们可以用放缩法的一支——"逐步放大法"，证明如下： 分析法 从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件，为此逐步往前追溯（执果索因），一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道，使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0，即（a-b）2≥0就行了.由于是真命题，所以a2+b2≥2ab成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……，只要证……"，最后推至已知条件或真命题 例求证： 证明： 构造图形证明不等式 例：已知a,b,c都是正数，求证： +> 分析与证明：观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式，联想到余弦定理：c2=a2+b2-2abCosC，为了得到a2+b2+ab的形式，只要C=120°， 这样：可以看成a,b为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边 可以看成b,c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边 可以看成a,c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边 构造图形如下， AB=, BC=, AC= 显然AB+BC>AC，故原不等式成立. 数形结合法 数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质，可以使许多抽象概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求，这通常为以形助数；而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究，又可获得简捷而一般化的解法，即所谓的以数解形.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形的转化，可以培养思维的灵活性，形象性.通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化. 例.证明，当x>5时，≤x-2 解：令y1=,y2=x-2，从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象.设它们交点的横坐标是x0，则=x0-2>0.解之，得x0=5或x0=1（舍）.根据图形，很显然成立. 反证法 先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知真命题）和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立. 穷举法 对要证不等式按已知条件分成各种情况，加以证明（防止重复或遗漏某一可能情况）. 注意：在证明不等式时，应灵活运用上述方法，并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力.。

4.证明不等式的方法总结

不等式证明方法的归纳小结

教学目的：分类地归纳小结不等式的证明方法

教学重点：通过不等式的证明，提高推理证明能力

教学难点：根据不等式的特征恰当地使用不等式的证明方法

教学过程：

（一）不等式的内容

1.不等式的性质；2.不等式的证明；3.不等式的解法

（二）证明不等式是解不等式的理论基础——不等式的性质（基本 ）

（三）证明不等式常用的基本方法

1.比较法

(1)作差法

a>b a-b>0

理论根据 a=b a-b=0

a<b a-b<0

一般步骤：作差——变形——判断符号

常常用之证明较高的不等式或分式不等式

例：已知：a,b∈R+，且a≠b

求证：a5+b5>a3b2+a2b3

(2)作商法

2.综合法——“由因导果”（实质）

理论根据 a2≥0即a2∈{0}∪R+

此种方法常用到的重要不等式

a2+b2≥2ab (a,b∈R)

(a,b∈R+)

a3+b3+c3≥3abc (a,b,c∈R+)

(a,b,c∈R+)

例如：证明：a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da

要根据不等式的特征，运用重要不等式，注意条件是否具备

3.分析法——“执果索因”（实质）

思想方法解题格式

为了证明……

只需证明……

……

因为……成立

所以……也成立

例如：证明： （a≥3）

分析法在思考上优于综合法易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理，故常将两法综合使用，进行记忆较好。

4.反证法

思想方法：为了证明A>B成立，假设AB成立。

5.放缩法

理论根据 a>b且b>c a>c

例：已知a,b,c,d为正数，

求证：1< <2

证明：由a,b,c,d为正数，则有

>=1

∴原不等式成立

练习：证明： （n∈N*且n≥2）

证明：由k∈N*且2≤k≤n，则有

∴

=

6.数学归纳法

证明一些与自然数有关的不等式。

作业：解答课堂例练习题

望采纳

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