众文网1.不等式的证明
不等式的证明的方法有很多种，以下就由我们写论文网 / 为您总结几种。
1.比较法 作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小 作差比较法-----要证明a>b，只要证明a-b>0. 作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b，只要证明a/b>1 例1求证：x2+3>3x 证明：∵（x2+3）-3x=x2-3x+()2-()2+3 =+≥>0 ∴x2+3>3x 例2已知a,bR+，并且a≠b，求证 a5+b5>a3b2+a2b3 证明：（a5+b5）-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) ∵a,bR+ ∴a+b>0,a2+ab+b2>0 又因为a≠b，所以（a-b）2>0 ∴（a+b）(a-b)2(a2+ab+b2)>0 即（a5+b5）-(a3b2+a2b3)>0 ∴a5+b5>a3b2+a2b3 例3已知a,bR+，求证：aabb≥abba 证明：= ∵a,bR+，当a>b时，>1,a-b>0,>1； 当a≤b时，≤1,a-b≤0，≥1. ∴≥1，即aabb≥abba 综合法 了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式 定理1如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取"="号） 证明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 当且仅当a=b时取等号.所以 a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）. 定理2如果a,b,cR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取"="号） 证明：∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0 ∴a3+b3+c3≥3abc， 很明显，当且仅当a=b=c时取等号. 例1已知a,b,c是不全等的正数，求证 a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc. 放缩法 这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等式的传递性— a≤b,b≤c，则a≤c，只要证明"大于或等于a的"b≤c就行了. 例，证明当k是大于1的整数时，， 我们可以用放缩法的一支——"逐步放大法"，证明如下： 分析法 从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件，为此逐步往前追溯（执果索因），一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道，使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0，即（a-b）2≥0就行了.由于是真命题，所以a2+b2≥2ab成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……，只要证……"，最后推至已知条件或真命题 例求证： 证明： 构造图形证明不等式 例：已知a,b,c都是正数，求证： +> 分析与证明：观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式，联想到余弦定理：c2=a2+b2-2abCosC，为了得到a2+b2+ab的形式，只要C=120°， 这样：可以看成a,b为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边 可以看成b,c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边 可以看成a,c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边 构造图形如下， AB=, BC=, AC= 显然AB+BC>AC，故原不等式成立. 数形结合法 数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质，可以使许多抽象概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求，这通常为以形助数；而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究，又可获得简捷而一般化的解法，即所谓的以数解形.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形的转化，可以培养思维的灵活性，形象性.通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化. 例.证明，当x>5时，≤x-2 解：令y1=,y2=x-2，从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象.设它们交点的横坐标是x0，则=x0-2>0.解之，得x0=5或x0=1（舍）.根据图形，很显然成立. 反证法 先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知真命题）和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立. 穷举法 对要证不等式按已知条件分成各种情况，加以证明（防止重复或遗漏某一可能情况）. 注意：在证明不等式时，应灵活运用上述方法，并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力.。
2.急求：不等式的证明方法的文献综述
1.不等式的基本性质：
性质1：如果a>b,b>c，那么a>c（不等式的传递性）.
性质2：如果a>b，那么a+c>b+c（不等式的可加性）.
性质3：如果a>b,c>0，那么ac>bc；如果a>b,c<0，那么acb,c>d，那么a+c>b+d.
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.
性质6：如果a>b>0,n∈N,n>1，那么an>bn，且.
例1：判断下列命题的真假，并说明理由.
若a>b,c=d，则ac2>bd2；（假）
若，则a>b；（真）
若a>b且ab<0，则；（假）
若a若，则a>b；（真）
若|a|b2；（充要条件）
命题A:a命题A：，命题B:0说明：本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程，在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b，比较a3-b3与ab2-a2b的大小.（≥）
说明：强调在最后一步中，说明等号取到的情况，为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4：设a>b,n是偶数且n∈N*，试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明：本例条件是a>b，与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件，为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b，可由三种情况（1）a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.
练习：
1.若a≠0，比较（a2+1）2与a4+a2+1的大小.（>）
2.若a>0,b>0且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.（>）
3.判断下列命题的真假，并说明理由.
(1)若a>b，则a2>b2；（假） （2）若a>b，则a3>b3；（真）
(3)若a>b，则ac2>bc2；（假） （4）若，则a>b；（真）
若a>b,c>d，则a-d>b-c.（真）.
3.不等式的证明的方法
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法（简称为求差法）和商值比较法（简称为求商法）。
2.综合法利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。（1）三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤1）；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA,y=tanB,z=tanC，其中A+B+C=π。（2）增量换元法：在对称式（任意交换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a>b>c等）的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元。 6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：（1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为不等量；（3）同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉（或加进）一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。
其中放缩法（增减法、加强不等式法） 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。
4.证明不等式的方法总结
不等式证明方法的归纳小结
教学目的：分类地归纳小结不等式的证明方法
教学重点：通过不等式的证明，提高推理证明能力
教学难点：根据不等式的特征恰当地使用不等式的证明方法
教学过程：
（一）不等式的内容
1.不等式的性质；2.不等式的证明；3.不等式的解法
（二）证明不等式是解不等式的理论基础——不等式的性质（基本 ）
（三）证明不等式常用的基本方法
1.比较法
(1)作差法
a>b a-b>0
理论根据 a=b a-b=0
a<b a-b<0
一般步骤：作差——变形——判断符号
常常用之证明较高的不等式或分式不等式
例：已知：a,b∈R+，且a≠b
求证：a5+b5>a3b2+a2b3
(2)作商法
2.综合法——“由因导果”（实质）
理论根据 a2≥0即a2∈{0}∪R+
此种方法常用到的重要不等式
a2+b2≥2ab (a,b∈R)
(a,b∈R+)
a3+b3+c3≥3abc (a,b,c∈R+)
(a,b,c∈R+)
例如：证明：a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da
要根据不等式的特征，运用重要不等式，注意条件是否具备
3.分析法——“执果索因”（实质）
思想方法解题格式
为了证明……
只需证明……
……
因为……成立
所以……也成立
例如：证明： （a≥3）
分析法在思考上优于综合法易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理，故常将两法综合使用，进行记忆较好。
4.反证法
思想方法：为了证明A>B成立，假设AB成立。
5.放缩法
理论根据 a>b且b>c a>c
例：已知a,b,c,d为正数，
求证：1< <2
证明：由a,b,c,d为正数，则有
>=1
∴原不等式成立
练习：证明： （n∈N*且n≥2）
证明：由k∈N*且2≤k≤n，则有
∴
=
6.数学归纳法
证明一些与自然数有关的不等式。
作业：解答课堂例练习题
望采纳
5.参考文献,求关于不等式证明方面的参考文献,中国外国都行,最好是
[1] 熊斌. Schur不等式和Hlder不等式及其应用[J]. 数学通讯， 2005,(15)
[2] 段志强. 一个不等式的妙用[J]. 数学通讯， 2004,(17)
[3] 赵国松， 张晓东. 一个Cordon型不等式[J]. 许昌学院学报， 2004,(05)
[4] 刘宁超. of multiply from i=1 to n (ai+bi) ≥{n~1/[ multiply from i=1 to n (ai)] +n~1/[multiply from i=1 to n (bi)]}~n的证明推广及应用[J]. 阜阳师范学院学报（自然科学版）， 1997,(03)
[5] 佟成军. 一个不等式的加强及证明[J]. 数学通讯， 2006,(07)
[6] 曾峰. 一个不等式的证明及应用[J]. 中学课程辅导（初二版）， 2005,(02)
[7] 黄长风. 联想证明不等式[J]. 数学教学研究， 2005,(03)
[8] 李歆. 不等式a~2+b~2≥2ab的几个推论及应用[J]. 中学生数学， 2005,(05)
[9] 方辉. 浅谈哥西不等式的应用[J]. 黄山学院学报， 1997,(01)
[10] 孔小波， 孙文迪. 权方和不等式的改进及其姊妹不等式[J]. 数学通报， 2008,(11)
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