众文网1.广义正定矩阵在代数中的应用
广义逆矩阵的理论和方法不仅是许多数学分支的基本工具，而且在经济学、统计学、测量学、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和运筹学等应用学科中都有着广泛的应用。在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，控制论和系统识别问题，网络问题等等中间，广义逆更是不可缺少的研究工具。另一方面，结合环的代数结构的研究方兴未艾，而环上矩阵的广义逆则是揭示环的代数结构的有力工具。近年来，随着广义逆的理论和计算问题研究的深入，广义逆矩阵领域遇到了一系列有待解决的理论问题。 本文，我们通过使用广义逆矩阵的表示理论和矩阵分解的方法研究解决了如下三类问题： 1.广义逆矩阵A_(T,S)~((2)）的秩等式问题 广义逆矩阵的秩等式问题是广义逆理论中的一类重要问题，它在刻划与各种广义逆有关的等式时至关重要。而常见的广义逆，如M-P逆、加权M-P逆、Drazin逆、群逆、Bott-Duffin逆以及广义Bott-Duffin逆都是某种指定了值域和零空间的A_(T,S)~((2)）逆。我们通过使用广义逆A_(T,S)~((2)）的群逆表达式来研究广义逆矩阵的秩等式问题。获得了与一个矩阵A的广义逆A_(T,S)~((2)）、两个矩阵A,B的广义逆A_(T,S)~((2)),B_(T_1,S_1)~((2)）以及分块矩阵M的广义逆M_(T,S)~((2)）的子矩阵有关的秩等式。作为推论，我们获得了一系列与M-P逆、加权M-P逆、Drazin逆、群逆、Bott-Duffin逆以及广义Bott-Duffin逆有关的等式的刻画。 2.分块矩阵的广义逆中子块独立的问题 分块矩阵的广义逆中子块独立的问题已有许多作者研究，但也遗留了一些未解决的问题。我们通过使用六个矩阵的广义奇异值分解QQQQQ-SVD，证明了1998年发表在SIAM J.Matrix Anal.Appl上的一个猜测。 3.除环上矩阵的广义逆问题 除环上矩阵的广义逆对于揭示除环的代数结构以及研究四元数矩阵的广义逆都具有重要意义。我们使用矩阵分解的方法系统地研究了这一问题，建立了除环上矩阵广义逆的A_(T,S)~((2)）理论，研究了除环上矩阵广义逆的反序问题以及除环上加边矩阵的广义逆的结构问题。四元数体上矩阵的广义逆可以作为特款给出。
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2.正定矩阵应用
正定矩阵在对三维空间里的图形进行线性变换时不改变图形的形状，这就是它的最大意义例如：任意一个向量x，跟他垂直的超平面把空间分成两部分，一部分和x在同一侧，即满足和x的内积为正的那侧，一部分在异侧，内积为负。
由定义，正定的线性变换把任意一个向量x都变到x的同侧。
如果它有实特征值，必定是正数，否则的话它会把这特征向量变到另侧。
一个线性变换把一组幺正基e1,。,en变到另一组向量v1,。,vn，这n个新向量的端点和原点一起构成一个多面体。这多面体的体积就是线性变换的行列式。对正定变换来说，其行列式为正，所以这个多面体非退化，且v1,。,vn确定的定向和e1,。,en确定的定向相同。
补充：不会保持形状不变.保持不变的必须是等距，就是说，必须是正交变换O(n).
正定变换一般最常见的情况是正定对称变换.正定对称变换最常见的情况是用来定义内积.即定义<x,y> = x'Ay为x,y的内积.欧氏空间的内积用I来定义，即<x,y>=x'y.
3.乔里斯基分解
Cholesky decomposition
在线性代数中，乔里斯基分解是将一个正定Hermite矩阵分解成为一个下三角阵和它的共轭转置阵的乘积。
如果矩阵A是正定Hermite阵，那么矩阵A可以做如下分解：
H=LL*
其中L是一个下三角矩阵且主对角线元素严格正定，L*是L的共轭转置矩阵。这就是乔里斯基分解。
乔里斯基分解是唯一的：给定一个正定Hermite矩阵A，只有唯一一个主对角线元素严格正定的下三角矩阵L，满足A = LL*。其逆命题也成立：对于可逆下三角阵L，若矩阵A能被分解成LL*，那么矩阵A是正定Hermite矩阵。
矩阵L主对角线严格正定的要求可以放松为半正定情形。则定理可以表达为：一方阵A可做乔里斯基分解当且仅当其为半正定Hermite矩阵。对于半正定矩阵的乔里斯基分解一般不是唯一的。
特别地，当矩阵A为正定对称阵且所有特征值为实数，那么矩阵L所有特征值也为实数。
4.正定矩阵的研究背景与研究目的,研究内容
相信正定矩阵的定义楼主很清楚。
定义矩阵的正定性是根据二次型来的，这也就是说明正定矩阵的性质反映了一个二次表达式的性质，从另一个角度讲这也给我们提供了一个二次表达式的矩阵表示方法。在最初学函数的时候，我们学过配方法，其实化一个二次型为标准二次型的时候也是利用这个原理，只不过我们通过矩阵的手段来进行计算同时还用到了满值线性变换的一些知识。
其实在数学理论中更愿意研究Hermite二次型的正定问题，因为Hermite矩阵（A=AH（表示共轭转置矩阵））更能和一些工程学科相结合。 另外在数值计算科学中也经常会用到正定矩阵的知识。
比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数矩阵是正定的情况下对任意初始向量是收敛的。 从工程学科来说，举一个控制系统为例，如果可以找到一个利亚普诺夫函数使得它的倒数是负定（也就是说倒数的相反数是正定的）那么这个系统就是渐进稳定的。
5.哪本教材对矩阵分解的论述较多
矩阵论 作者：戴华编著 【作 者】：戴华编著 【丛编项】：研究生数学教学系列 工科类 【装帧项】：简装本 23cm / 288 【出版项】：科学出版社 / 2001(2002重印) 【ISBN号】：70300967** / O151.21 【原书定价】：￥28.00 马上购买 【主题词】：数学-代数，数论及组合理论-矩阵论 有6家书店销售此书 中国书网 ￥23.24 【购买】 蔚蓝书店 ￥25.20 【购买】 D1便利网 ￥23.80 【购买】 中国图书网 ￥26.60 【购买】 时代网上书店 ￥23.80 【购买】 点此查看详细导购信息» 【图书简介】 - 矩阵论 本书较全面、系统地介绍了矩阵理论的基本理论、方法和某些应用。
全书共分10章，分别介绍了线性空间与内积空间、线性映射与线性变换、λ矩阵与Jordan标准形、初等矩阵与矩阵因子分解、Hermite矩阵与正定矩阵、范数理论与扰动分析、矩阵函数与矩阵值函数、广义逆矩阵与线性方程组、Kronecker积与线性矩阵方程、非负矩阵与M矩阵等内容。本书内容丰富、论述严谨。
各章后面配有一定数量的习题，有利于读者学习和巩固。本书可作为理工科院校硕士研究生和高年级本科生的教材，也可作为有关专业的教师和工程技术人员的参考书。
【图书目录】 - 矩阵论 第一章线性空间与内积空间 1.1预备知识：集合.映射与数域 1.1.1集合及其运算 1.1.2二元关系与等价关系 1.1.3映射 1.1.4数域与代数运算 1.2线性空间 1.2.1线性空间及其基本性质 1.2.2向量的线性相关性 1.2.3线性空间的维数 1.3基与坐标 1.4线性子空间 1.4.1线性子空间的概念 1.4.2子空间的交与和 1.4.3子空间的直和 1.5线性空间的同构 1.6内积空间 1.6.1内积空间及其基本性质 1.6.2标准正交基与Gram-Schmidt正交化方法 1.6.3正交补与投影定理 习题 第二章线性映射与线性变换 2.1线性映射及其矩阵表示 2.1.1线性映射的定义及其性质 2.1.2线性映射的运算 2.1.3线性映射的矩阵表示 2.2线性映射的值域与核 2.3线性变换 2.4特征值和特征向量 2.5矩阵的相似对角形 2.6线性变换的不变子空间 2.7酉（正交）变换与酉（正交）矩阵 习题 第三章λ矩阵与矩阵的Jordan标准形 3.1一元多项式 3.2λ矩阵及其在相抵下的标准形 3.2.1λ矩阵的基本概念 3.2.2λ矩阵的初等变换与相抵 3.2.3λ矩阵在相抵下的标准形 3.3λ矩阵的行列式因子和初等因子 3.4矩阵相似的条件 3.5矩阵的Jordan标准形 3.6Cayley-Hamilton定理与最小多项式 习题 第四章矩阵的因子分解 4.1初等矩阵 4.1.1初等矩阵 4.1.2初等下三角矩阵 4.1.3Householder矩阵 4.2满秩分解 4.3三角分解 4.4QR分解 4.5Schur定理与正规矩阵 4.6奇异值分解 习题 第五章Hermite矩阵与正定矩阵 5.1Hermite矩阵与Hermite二次型 5.1.1Hermite矩阵 5.1.2矩阵的惯性 5.1.3Hermite二次型 5.2Hermite正定（非负定）矩阵 5.3矩阵不等式 *5.4Hermite矩阵的特征值 习题 第六章范数与极限 6.1间量范数 6.2矩阵范数 6.2.1基本概念 6.2.2相容矩阵范数 6.2.3算子范数 6.3矩阵序列与矩阵级数 6.3.1矩阵序列的极限 6.3.2矩阵级数 6.4矩阵扰动分析 6.4.1矩阵逆的扰动分析 6.4.2线性方程组解的扰动分析 6.4.3矩阵特征值的扰动分析 习题 第七章矩阵函数与矩阵值函数 7.1矩阵函数 7.1.1矩阵函数的幂级数表示 7.1.2矩阵函数的另一种定义 7.2矩阵值函数 7.2.1矩阵值函数 7.2.2矩阵值函数的分析运算 7.3矩阵值函数在微分方程组中的应用 7.4特征对的灵敏度分析* 习题 第八章广义逆矩阵 8.1广义逆矩阵的概念 8.2广义逆矩阵与线性方程组的解 8.3极小范数广义逆与线性方程组的极小范数解 8.4最小二乘广义逆与矛盾方程组的最小二乘解 8.5广义逆矩阵与线性方程组的极小最小二乘解 习题 第九章Kronecker积与线性矩阵方程 9.1矩阵的Kronecker积 9.2矩阵的拉直与线性矩阵方程 9.2.1矩阵的拉直 9.2.2线性矩阵方程 9.3矩阵方程AXB=C与矩阵最佳逼近问题 9.3.1矩阵方程 9.3.2带约束的矩阵最佳逼近问题 9.4矩阵方程AX=B的Hermite解与矩阵最佳逼近问题 9.5矩阵方程AX+XB=C和X-AXB=C* 9.5.1矩阵方程AX+XB=C 9.5.2矩阵方程X-AXB=C 习题 第十章非负矩阵* 10.1非负矩阵与正矩阵 10.2素矩阵与不可约非负矩阵 10.2.1素矩阵 10.2.2不可约非负矩阵 10.3随机矩阵 10.4M矩阵 习题 参考文献 回答者：skxheieann - 见习魔法师 二级 12-30 14:34如果你想扩展你的"矩阵理论"知识，多看一些"资料".你可以登录[奇迹网站]和 [google网站]搜索"矩阵分析理论"和"奇迹笔记"，可以获得大量的资料. [网址] /custom?sitesearch=qiji/ 例如<组合矩阵论>专文 作者N.A 内容：（1）矩阵的图和谱（2）矩阵的综合性质（3）非负矩阵的幂序列 （4）组合理论的矩阵方法（5）组合矩阵分析 <广义多元分析>专文 作者N.A 内容：（1）矩阵理论和不变性（2）椭球等高分析（3）球对称矩阵分析 （4）参数估计（5）假设检验（6）线性模型 我认为对你写"论文"会有启发.。
6.正定矩阵的特征及性质
矩阵正定性的性质： 1、正定矩阵的特征值都是正数。
2、正定矩阵的主元也都是正数。 3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。
4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。 正定矩阵的特征方法： 1、对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。
2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。 3、对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU 4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。
5、对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。 扩展资料： 一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z。
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的： （1）A是正定矩阵； （2）A的一切顺序主子式均为正； （3）A的一切主子式均为正； （4）A的特征值均为正； （5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C; (6)存在秩为n的m*n实矩阵B，使A=B′B; (7)存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R。 对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
参考资料来源：百度百科--正定矩阵。
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