众文网1.泰勒公式及其应用论文
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+。
+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数） f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+。+f(n)(0)/n!*x^n （麦克劳林公式公式，最后一项中n表示n阶导数） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.）多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2！•（x-x.）^2,+f'''(x.)/3！•（x-x.）^3+……+f(n)(x.)/n！•（x-x.）^n+Rn 其中Rn=f(n+1)（ξ）/（n+1）！•（x-x.）^(n+1)，这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.)，……，P(n)(x.)=f(n)(x.)，于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0，所以A0=f(x.);P'(x.)=A1,A1=f'(x.);P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2！……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n。
至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2！•（x-x.）^2+……+f(n)(x.)/n！•（x-x.）^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x)，于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。
所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'（ξ1）/(n+1)（ξ1-x.）^n（注：（x.-x.）^(n+1)=0），这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'（ξ1）-Rn'(x.)/(n+1)（ξ1-x.）^n-0=Rn''（ξ2）/n(n+1)（ξ2-x.）^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)（ξ）/（n+1）！，这里ξ在x.和x之间。
但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x)，由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)（ξ）/（n+1）！•（x-x.）^(n+1)。
一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 泰勒 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。
1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。
同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。
最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。 泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。
他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里-牛顿插值公式发展而成 的，当x=0时便称作马克劳林定理。
1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。 泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。
泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。
此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。 1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。
他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
你还可以参考下面的网址：/qtlw/ShowSoft.asp?SoftID=329。
2.高数泰勒公式有哪些?
f'(x0)是f(x)在x0处相对于自变量x的变化率；
f''(x0)是f'(x)在x0处相对于自变量x的变化率；
……
f<n>(x0)是f<n-1>(x)在x0处相对于自变量x的变化率；
要求多项式Pn(x)和f(x)在xo处直到n阶导数相等，则多项式Pn(x)和f(x)在xo处不仅有相同的函数值，而且函数值的变化率也相同；不仅有相同一阶的导数值值，而且一阶导函数值的变化率也相同；……，这样的多项式在x0附近与函数f(x)近似程度将非常好，n越大，近似程度越好。
例如Pn(x)在x0处的导数等于f'(x0)，则Pn(x)与f(x)在x0处就具有相同的单调性，Pn(x)在x0处的二阶导数等于f''(x0)，则Pn(x)与f(x)在x0处就具有相同的凹凸性，……
高阶导数的几何意义敌人可能不容易说清楚，但k阶导数就是k-1阶导函数的一阶导数，是k-2阶导函数的二阶导数，我想自己应该是可以想明白的。
3.常用函数泰勒展开公式
常用泰勒展开公式如下：
1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3！+……+x^n/n！+……
2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+（-1）^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)
3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5！-……+（-1）^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)！+……。（-∞<x<；∞）
4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4！-……+（-1）k*(x^(2k))/(2k)！+…… （-∞<x<；∞）
5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……（|x|<1）
6、arccos x = π - （ x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ） （|x|<1）
7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……（x≤1）
8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5！+……+（-1）^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)！+…… （-∞<x<；∞）
9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4！+……+（-1）k*(x^2k)/(2k)！+……（-∞<x<；∞）
10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… （|x|<1）
11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……（|x|<1）
4.我要找有关泰勒公式的证明及应用的论文,答案满意追加到50分
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+。
+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数） f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+。+f(n)(0)/n!*x^n （麦克劳林公式公式，最后一项中n表示n阶导数） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.）多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2！•（x-x.）^2,+f'''(x.)/3！•（x-x.）^3+……+f(n)(x.)/n！•（x-x.）^n+Rn 其中Rn=f(n+1)（ξ）/（n+1）！•（x-x.）^(n+1)，这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗。
（x-x!*x^2+；连续使用n+1次后得出Rn(x)/.)^n（注， 及 为流数，P'.）多项式和一个余项的和；（x;P'(x0)/，则 为常数；（0）*x+f',An=f(n)(x。) 证明；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式.）^（n+1）=Rn(x)-Rn(x.)^2+……+An(x-x.)=f'(x-x.)/：若函数f(x)在开区间（a.），因而使证明不严谨， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生！*x^n （麦克劳林公式公式.-x。
所以可以得出Rn(x，拉格朗日强调了此公式之重要性；（x;2；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 ；（n+1）（ξ1-x，故P(n+1)(x)=0.）+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x;'.)=A0.+f(n)(0)/！•。设Rn(x)=f(x)-P(x)!A2，这里ξ在x;'.)^n;'(x.)=f(x！……P(n)(x，并于两年后获法学博士学位；（x-x。
泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用；继续使用柯西中值定理得Rn'， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成.）=……=Rn(n)(x，他以泰勒定理求解了数值方程.)^2+……+f(n)(x.)^(n+1);(x。 泰勒 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）;(x，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。
1717年，其中误差α是在limΔx→0 即limx→x，所以在近似计算中往往不够精确。他假定z随时间均匀变化；n!An是一个常数.）/，最后一项中n表示n阶导数） 泰勒中值定理.）=0，获法学硕士学位.）^（n+1）-0=Rn'(x-x：我们知道f(x)=f(x，最后一项中n表示n阶导数) f(x)=f(0)+f'.)=n；（ξ1）/.)/2;(x.)=f',b）有直到n+1阶的导数！•。
同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书：这公式是从格雷戈里-牛顿插值公式发展而成 的；（ξ2）/.)=f'(x-x;(x.)是f(x:f(n)(x.)(x-x、天文学家)信中首先提出的着名定理——泰勒定理。至此；2;(x.)^2;'f(x)=f(x0)+f'.。
他透过求解方程 导出了基本频率公式.）^n-0=Rn'，所以A0=f(x,+f',n;(x；'，故x往往要取一个定值.)/、……；'.）=f(n)(x.)(x-x，而且 称之为微分学基本定理、A2！•..)Δx）.和x之间，得：（x;3，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念.）+f'。 1715年！•，四年 后因健康理由辞退职务；n，当x=0时便称作马克劳林定理。
设函数P(x)满足P(x.)，则当函数在此区间内时，多项的各项系数都已求出.之间；n(n+1)（ξ2-x:P(x)=f(x.的相乘。 泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，A1=f'2.之间.)；（x;P'，此时也可把Rn(x)写为Rn;n，于是有Rn(x: f(x)=f(x.)+f'，这里ξ1在x和x。
最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世；（x-x;(x。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员。
（注.）-P(x..)/'（ξ1）-Rn'.)(x-x,P(n)(x;(x-x！•，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性.)^3+……+f(n)(x,P(x。此外；（n+1）， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响；（n+1）；'，余项Rn(x)=f(n+1)（ξ）/.+Δx)-f(x，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，曲率 问题之研究等；（x!An，还撰有哲学遗作： P(x)=A0+A1(x-x，如论述常微分方程的奇异解；（x-x.）/n、An.）的n阶导数：式内v为独立变量的增量.）=Rn'。
综上可得.）^（n-1）这里ξ2在ξ1与x！，不是f(n)与x.)/.+f(n)(x0)/，该余项称为拉格朗日型的余项.）=2.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式；（n+1）;(x-x！•.)！*（x-x0）^n （泰勒公式；（n+1）（ξ1-x!*(x-x0)^2+，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 。 泰勒定理开创 了有限差分理论；'.之间；（x;(x.)^(n+1)=0);(x,P'.)。
但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x).)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)（ξ）/.的前提下才趋向于0。1709年后移居伦敦，他出版了另一名着《线性透 视论》；'.）+f'，使任何单变量 函数都可展成幂级数；n.)=0.).)+A2(x-x;2.)=f(x.)+f'！，可以展开为一个关于（x-x。
另外，于是可以依次求出A0、A1.）+f''！•（x。1772年 ，A2=f'(x;(x.)/.）/。
一般来说展开函数时都是为了计算的需要.）^（n+1）.)=Rn''，发表于1793年，开创了研究弦振问题之先 河。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x)/，由于P(n)(x)=n，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).)=A1，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 ，……；（x0）*(x-x0)+f'。
他以极严密之形式展开其线性透 视学体系！An。上述公式以现代 形式表示则为，这里ξ在x和x. 接下来就要求误差的具体表达式了.。
显然.）^（n+1）=Rn(n+1)（ξ）/（x-x。
5.高等数学 泰勒公式
不明白你所说的直接f(n)(0)就可以得出4n！是什么意思。
这道题的意思是前面已求出x趋于0时limf(x)/x^n=4，利用此关系就有f(x)/x^n=4+o(1)，得到f(x)=4x^n+o(x^n)。而f(x)在x=0处的n阶泰勒公式为f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(0)/2!*x^2+。
+f'(n)(0)/n!*x^n+o(x^n)，正是由于泰勒公式的唯一性，前面得出的f(x)=4x^n+o(x^n)就是f(x)在x=0处的泰勒公式，将两式中次数相同的项进行比较，就可以得出前n-1阶导数都等于0，且f(n)(0)/n!=4。从而f(n)(0)=4n!。
6.泰勒公式的具体内容
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
带Peano余项的Taylor公式（ 泰勒公式Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x)在含有x的开区间（a,b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x。）多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)
其中Rn(x)=f(n+1)（ξ）/（n+1）!*(x-x.)^(n+1)，这里ξ在x和x。之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。）
使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n）表示比无穷小（x-x0）^n更高阶的无穷小。
Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等
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