众文网1.随机变量和可测函数
在流行病学，生物统计学和天文学中常遇到随机截断数据。
在随机截断下，人们关系的随机变量X被另一个随机变量Y干扰。只有当X≥Y时，才能观测到X和Y。
在这个模型下，人们需要用截断数据估计X的分布函数F。F的非参数最大似然估计Fn在下述意义下服从中心极限定理。
对任何可测函数g(x)，√n∫g(x)[dFn(x)-dF(x)]依分布收敛到均值为零方差为σ^2的正态分布。从这个结果可以得出F的各种矩，特征函数等估计的渐近正态性。
作为推论，还可以得到Fn在整个直线上的依分布收敛。我们的结果不要求X和Y的分布函数连续，得到的方差公式是简明的。
2.生活中的函数论文
拓展课 论文
——有关生活中的函数
一、问题的提出
在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化.但怎样才能达到这样的目的呢？
一天，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：
某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行买东西满50元付5元即有抽奖机会，抽奖奖金如下：
特等奖10000元1名
一等奖1000元2名
二等奖100元10名
三等奖5元200名
而乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给销费者的实惠大？
二、问题的分析
面对问题我们并不能一目了然。我做了一个假设，假如有16人，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以。调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？
在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制。所以我们认为问题应该有几种答案。
三、问题的解决
1、苦甲商厦确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213(1十2+10+200=213人)人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。
2、若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，4415元（10000+2000+1000+1000-50*213+5*213=4415）。假设两商厦提供的优惠都是4415元，则可求乙商厦的营业额为88300元（4415÷5%=88300）。
甲的优惠=奖金总数-人数*抽奖需付的5元
乙的优惠=顾客买东西所花的总额*5%
所以由此可得：
(l)当顾客为213人时，即两商厦的营业额都为88300元时，两家商厦所提供的优惠同样多.
(2)当顾客小于213人时，即甲商厦的营业额不足88300元时，乙商厦的优惠则小于4415元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是4415元，优惠较大。
(3)当顾客大于213人时，即两家的营业额都超过88300元时，乙商厦的优惠则大于4415元，而甲商厦的优惠仍保持4415元时，乙商厦所提供的实惠大。
四、由问题而想到的
像这样的问题，我们在日常生活中随处可见。
例如。有两家液化气站，已知每瓶液化气的质和量相同，开始定的价也相同.为了争取更多的用户，两站分别推出优惠政策.甲站的办法是实行七五折错售，乙站的办法是对客户自第二次换气以后以7折销售。两站的优惠期限都是一年.你作为用户，应该选哪家好？
这个问题与前面的问题有很大相同之处。只要通过你所需要的罐数来分析讨论，这样，问题便可迎刃而解了。
随着市场经济的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩.买与卖，存款与保险，股票与债券，……都已进入我们的生活.同时与这一系列经济活动相关的数学，利比和比例，利息与利率，统计与概率。运筹与优化，以及系统分析和决策，都将成为数学课程中的“座上客”。
五、后记
作为跨世纪的中学生，我们不仅要学会数学知识，而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题。这样才能更好地适应社会的发展和需要。
3.求一篇数学本科论文
一、数学理论
1、试论导函数、原函数的一些性质。
2、有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
3、数学中一些有用的不等式及推广。
4.函数的概念及推广。
5.构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
7.泰勒公式及其在解题中的应用。
8.导数的作用。
9.Hilbert空间的一些性质。
10.Banach空间的一些性质。
11.线性空间上的距离的讨论及推广。
12.凸集与不动点定理。
13.Hilbe空间的同构。
14.最佳逼近问题。
15.线性函数的概念及推广。
16.一类椭圆型方程的解。
17.泛函分析中的不变子空间。
18.线性赋范空间上的模等价。
19.范数的概念及性质。
20.正交与正交基的概念。
21.压缩映像原理及其应用。
22.隐函数存在定理的再证明。
23.线性空间的等距同构。
24.列紧集的概念及相关推广。
25.Lebesgue控制收敛定理及应用。
26.Lebesgue积分与Riemann积分的关系。
27.重积分与累次积分的关系。
28.可积函数与连续函数的关系。
29.有界变差函数的概念及其相关概念。
30.绝对连续函数的性质。
31.Lebesgue测度的相关概念。
32.可测函数与连续函数的关系。
33.可测函数的定义及其性质。
34.分部积分公式的推广。
35.Fatou引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
37.绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
38.Schwartz不等式及推广。
39.阶梯函数的概念及其作用。
40.Fourier级数及推广。
41.完全正交系的概念及其作用。
42.Banach空间与Hilbert空间的关系。
43.函数的各种收敛性及它们之间的关系。
44.数学分析中的构造法证题术，
45.用微积分理论证明不等式的方法
46.数学分析中的化归法
47.微积分与辩证法
48.积分学中一类公式的证明
49.在上有界闭域的D中连续函数的性质
50.二次曲线中点弦的性质
51.用射影的观点指导中学初等几何内容
52.用近代公理分析中学几何中的公理系统
53.球上Hardy空间上的加权复合算子
54.多圆盘上不同Bergman空间上的加权复合复合算子
55.从加权Bergman空间到Bloch空间的加权复合算子
56.从加权Bergman空间到加权Bloch空间的加权复合算子
57.刻画I[x] ,K[x,y]（进而R[x],R为Pid）中的素理想，其中I为整数环，K为域。
58.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。
59.对于每个n≥2，找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示（模型），其中Mn(Z)为整数环Z上的n阶矩环
.60.给出Euler定理（若（a,m）=1，则）的三种不同证明。
61.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2.
62.试述函数在数学中的地位和作用。
63.阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。
64.浅谈微分学（或积分学）在中学数学教学中的应用
65.论在数学教学中培养学生的创新精神。
66.初等几何变换在中学数学（代数、几何、三角）中的应用
67.从随机方法（概率方法）处理非随机数学问题看数学的统一性。
68.构造函数证题的妙想与思维方法的特点
69.数学知识的分类及其教学策略
70.数学知识的分类测量与评价
4.寻求一篇测量的论文
摘要：本文通过工程测量与工程质量之间的关系分析，提出了在施工质量管理中工程测量的具体做法。
关键词：工程测量；施工质量；管理 一、概述 质量是企业的生命，质量是企业发展的根本保证。在建筑市场竞争激烈的今天，如何提高施工质量管理水平是每一位企业管理者必须思考的问题。
影响施工质量的因素方方面面。本文从工程测量的角度，详细分析测量放线工作对保证和提高施工质量的重要作用，阐述了如何加强对测量工作的管理以提高施工质量。
二、工程质量与工程测量的关系 “质量”最简单的概括：事物（件）经过一系列操作后所反映结果的表现。工程质量包括的内容非常丰富，如何保证、提高施工质量的措施和方法也是多方面的。
但是有一个共同点：过程操作与监控是保证和提高施工质量的根本所在。而在过程操作阶段，工程测量起到了非常重要的作用。
众所周知，测量放线为工程施工开辟了道路，提供方向。准确、周密的测量工作不但关系到一个工程是否能顺利按图施工，而且还给施工质量提供重要的技术保证，为质量检查等工作提供方法和手段。
可以这样比喻：如果没有测量，工程施工将寸步难行，施工质量将无从谈起。 三、分析工程测量在各施工阶段对工程质量的影响 1、工程测量在建筑定位及基础施工阶段对工程质量的作用 在工程开始施工前，首先通过测量把施工图纸上的建筑物在实地进行放样定位以及测定控制高程，为下一步的施工提供基准。
这一步工作非常重要，测量精度要求非常高，关系整个工程质量的成败。 在基础施工阶段，基础桩位的施工更加需要准确的工程测量技术保证。
根据施工规范的要求，承台的桩位的允许偏差值很小。一旦桩位偏差超过规范要求，将会引起原承台设计的变化，从而增加了工程成本。
严重的桩位偏差将会导致桩位作废，需要重新补桩等处理措施，一方面影响了施工的进度，另一方面，改变了原来的受力计算，对建筑物埋下了质量的隐患。 在土方开挖及底板基础施工过程中，由于设计要求，底板、承台、底梁的土方开挖是要尽量避免挠动工作面以下的土层，因此周密、细致的测量工作能控制土方开挖的深度及部位，避免超挖及乱挖。
从而能保证垫层及砖胎膜的施工质量，对与采用外防水的工程意义尤为重大。另外垫层及桩头标高控制测量的精度，是保证底板钢筋绑扎是否超高，底板混凝土施工平整度的最有效措施。
工程测量在基础施工阶段的另外一个重点是基础墙柱钢筋的定位放线，在这一个环节里面，容不得有半点差错。否则将导致严重的质量事故发生。
对于结构复杂，面积较大的工程，只有周密、细致的进行测量放线方能保证墙柱插筋质量，避免偏位、移位等情况的发生。 2、工程测量在主体结构施工阶段对工程质量的作用 在主体结构施工阶段，工程测量对于工程质量的影响主要有以下几个方面：墙柱平面放线、建筑物垂直度控制、主体标高控制、楼板、线条、构件的平整度控制等。
其中墙柱平面放线的精确度，直接影响建筑物的总体垂直度，对墙柱钢筋绑扎、模板施工的质量产生严重的影响。所以每次混凝土施工完毕后，第一道工序就是测量放线。
通过了测量放线不但能够为下一道工序提供依据，并且能及时发现上一道工序所遗留下来的问题，使得其他专业的施工人员及时处理已经发生的质量问题，避免了问题的累积，最终导致质量事故。 在标高测量控制方面，能为模板施工提供准确的基准点，是模板施工平整度的保证。
同时为混凝土施工提供标高控制线，保证砼后的混凝土平整度。精确的标高控制，是施工人员严格按图施工的前提。
对于施工面积较大的工程，如何保证模板施工的总体平整度、混凝土面的平整度，基本的前提就是测定一个准确、详细的标高控制系统面。 建筑物垂直度控制测量是主体施工中的一个重点，除了作好每层楼的垂直度观测，为专业质检人员及时检查、调整提供控制数据以外，还为施工人员提供更详细的竖向控制线。
由于垂直度控制的好坏是直接反映施工质量的最重要的因素之一（特别在中高层建筑的施工中）。垂直度偏差过大，必须通过装饰阶段的抹灰等措施来弥补。
除了所带来的经济损失不说，还会埋下一个隐患：抹灰的厚度过大，容易造成墙面空鼓，从引发外墙渗漏等质量通病，更严重的情况会脱落，导致高空坠物的危险。 3、工程测量在装饰装修施工阶段对工程质量的作用 原文出自： 。
5.急
GPS在工程测量中的优化与应用探讨 摘要]鉴于GPS相对于全站仪等传统测量技术具有全天候、高精度、自动化、高效益等优势，本文通过对几个工程测量实例的实 施、对比及分析，就工程测量中如何对GPS技术进行优化与应用进行了探讨，并得出了相关结论。
[关键词]GPS静态定位动态定位工程测量 1.GPS定位技术的特点和优势 全球定位系统具有性能好、精度高、应用广的特点，是迄今最好的 导航定位系统。随着全球定位系统的不断改进，硬、软件的不断完善，应 用领域正在不断地拓宽，目前已遍及国民经济各种部门，并开始逐步深 入人们的日常生活。
经过近10年我国测绘等部门的使用表明，GPS以 全天候、高精度、自动化、高效益等显著特点，赢得广大测绘工作者的信 赖，并成功地应用于大地测量、工程测量、航空摄影测量、运载工具导航 和管制、地壳运动监测、工程变形监测、资源勘察、地球动力学等多种学 科。GPS卫星全球定位系统的全面建成和发展，必将给导航和测绘行业 带来深刻影响。
2.GPS定位技术在实际测量工作中的对比分析 自2003年单位引进4套美国TRIMBLE（天宝）5700 GPS双频接收 机（静态定位精度5mm+0.5ppm*D）以来，笔者一直从事GPS的定位和 测量工作。分别完成了朝阳区温榆河河道改造工程控制测量、海淀区莲 西商务楼竣工控制测量、顺义残疾人培训中心控制和数字地形测量、燕 山石化控制和数字地形测量、大安山矿区控制和数字地形测量、天津塘 沽滨海旅游度假村控制和数字地形测量、天津地铁勘察定位、京沪高速 铁路勘察定位、沈大客运专线勘察定位、外交部职工住宅楼勘察定位等 大小数十项工程的控制和测量工作。
在近几年来的工程测量中，通常都 是天宝3602DR全站仪（测量精度±2''，±（2mm+2ppm*D））和天宝 5700GPS联合进行，两者相互配合，取长补短，弥补对方的不足，从而更 有效发挥各种仪器的使用价值。全站仪测量具有精度高，速度快等优 势，但是受通视条件影响较大，遇有障碍物时需多次转点，使其优势得 不到充分发挥；而GPS测量对通视条件则没有要求，但由于测量数据都 是通过接收卫星信号得来，只有保证仪器能够接收到足够的卫星信号， 才能保证测量成果，因此，它对仪器周边的建筑、构筑物要求较高。
全站 仪测量经过几十年的发展，现在各个方面已经是十分成熟，而GPS测量 在国内刚开始不久，好多技术都在试验阶段，各方面都有待完善。虽然 这两种测量技术广泛运用在日常生活中，但两者在实际工程测量中应 用时，在满足国家规范的同时两者之间相对测量精度能达到多少，特别 是GPS测量相对业已成熟的主流的全站仪测量之间的测量误差，笔者 多方查询，各方面文献均未作出相关报道。
我们一直试图通过各种方法 和手段，对两种测量之间的关系进行一些研究，希望能对今后的测量工 作起到一个指导和借鉴作用。通过多年的工程实践和试验，笔者选取了 几个比较有代表性的工程实例，对GPS测量和全站仪测量在测量成果 精度上作了一些对比、总结和探讨。
2.1 GPS静态定位（四等）和全站仪定位工程对比 静态定位基本上都是用在测量控制上，故本研究分别是朝阳区温 榆河河道改造工程控制测量和海淀区莲西商务楼竣工控制测量的控制 测量数据进行比较，主要比较两种定位方面的坐标成果数据，具体测量 数据如表1、表2所示。通过以上工程实例，可以看出现在的GPS静态 定位（四等）和全站仪定位精度已经很接近，平面和高程误差都能控制 在10mm之内，测距相对误差在7万分之一以上，都能够满足3等以下 导线测量和3等以下水准测量的测量规范和生产要求，但是GPS静态 定位比全站仪定位更高速、高效，应用范围更广阔，经济效益更加明显。
在市场竞争激烈的今天，GPS测量已经成为工程测量的首选手段。 2.2 GPS动态测量（RTK）和全站仪测量 动态测量一般用在精度要求较低的测量工程。
如地形测量、勘察定 位等方面，本研究选用天津塘沽滨海旅游度假村控制，沈大客运专线勘 察定位和数字地形测量和外交部职工住宅楼勘察定位成果进行比较， 相关测量数据及比较结果如表3、表4和表5所示。通过以上工程实例， 可以看出GPS动态测量（RTK）与全站仪的平面误差基本上在250mm之 内，高程误差在50mm之内。
能够满足工程勘察初勘平面误差0.5 m，高 程误差5cm，详勘平面误差0.25m，高程误差5cm的规范要求，同时还 能满足常规地形测量1∶500比例尺以上地形测量的工程测量规范要求。 GPS动态测量可以很好避免全站仪测量时繁琐复杂的分级控制过程， 能够很好克服测量点之间的通视问题，能减少一半的测量人员，从而节 约大量工作时间、大幅提高测量工作效率。
2.3GPS在工程测量中的优化经验与思路 通过对以上的测量数据对比和经验总结，我们对GPS测量定位技 术的性能、精度和使用条件有了更进一步的了解，这对我们后续的许多 工程施工提供了很好的依据，我们可以针对不同的工程技术要求，制定 不同的施测方案，在确保工程质量的同时，最大限度降低生产成本，使 单位的经济效益得到大幅提高。后来进行的大兴黄 村动车段勘察定位。
6.求一篇关于函数发生器的论文
函数信号发生器的设计与制作 系别：电子工程系 专业：应用电子技术 届：07届 姓名：李贤春 摘 要 本系统以ICL8038集成块为核心器件，制作一种函数信号发生器，制作成本较低。
适合学生学习电子技术测量使用。ICL8038是一种具有多种波形输出的精密振荡集成电路，只需要个别的外部元件就能产生从0.001Hz~30KHz的低失真正弦波、三角波、矩形波等脉冲信号。
输出波形的频率和占空比还可以由电流或电阻控制。另外由于该芯片具有调制信号输入端，所以可以用来对低频信号进行频率调制。
关键词 ICL8038，波形，原理图，常用接法 一、概述 在电子工程、通信工程、自动控制、遥测控制、测量仪器、仪表和计算机等技术领域，经常需要用到各种各样的信号波形发生器。随着集成电路的迅速发展，用集成电路可很方便地构成各种信号波形发生器。
用集成电路实现的信号波形发生器与其它信号波形发生器相比，其波形质量、幅度和频率稳定性等性能指标，都有了很大的提高。 二、方案论证与比较 2.1·系统功能分析 本设计的核心问题是信号的控制问题，其中包括信号频率、信号种类以及信号强度的控制。
在设计的过程中，我们综合考虑了以下三种实现方案： 2.2·方案论证 方案一∶采用传统的直接频率合成器。这种方法能实现快速频率变换，具有低相位噪声以及所有方法中最高的工作频率。
但由于采用大量的倍频、分频、混频和滤波环节，导致直接频率合成器的结构复杂、体积庞大、成本高，而且容易产生过多的杂散分量，难以达到较高的频谱纯度。 方案二∶采用锁相环式频率合成器。
利用锁相环，将压控振荡器（VCO）的输出频率锁定在所需要频率上。这种频率合成器具有很好的窄带跟踪特性，可以很好地选择所需要频率信号，抑制杂散分量，并且避免了量的滤波器，有利于集成化和小型化。
但由于锁相环本身是一个惰性环节，锁定时间较长，故频率转换时间较长。而且，由模拟方法合成的正弦波的参数，如幅度、频率 相信都很难控制。
方案三：采用8038单片压控函数发生器，8038可同时产生正弦波、方波和三角波。改变8038的调制电压，可以实现数控调节，其振荡范围为0.001Hz~300KHz。
三、系统工作原理与分析 3.1、ICL8038的应用 ICL8038是精密波形产生与压控振荡器，其基本特性为：可同时产生和输出正弦波、三角波、锯齿波、方波与脉冲波等波形；改变外接电阻、电容值可改变，输出信号的频率范围可为0.001Hz~300KHz；正弦信号输出失真度为1%；三角波输出的线性度小于0.1%；占空比变化范围为2%~98%；外接电压可以调制或控制输出信号的频率和占空比（不对称度）；频率的温度稳定度（典型值）为120*10-6(ICL8038ACJD)~250*10-6(ICL8038CCPD)；对于电源，单电源（V+）:+10~+30V，双电源（+V）(V-)：±5V~±15V。图1-2是管脚排列图，图1-2是功能框图。
8038采用DIP-14PIN封装，管脚功能如表1-1所示。 3.2、ICL8038内部框图介绍 函数发生器ICL8038的电路结构如图虚线框内所示（图1-1），共有五个组成部分。
两个电流源的电流分别为IS1和IS2，且IS1=I,IS2=2I；两个电压比较器Ⅰ和Ⅱ的阈值电压分别为 和 ，它们的输入电压等于电容两端的电压uC，输出电压分别控制RS触发器的S端和 端；RS触发器的状态输出端Q和 用来控制开关S，实现对电容C的充、放电；充点电流Is1、Is2的大小由外接电阻决定。当Is1=Is2时，输出三角波，否则为矩尺波。
两个缓冲放大器用于隔离波形发生电路和负载，使三角波和矩形波输出端的输出电阻足够低，以增强带负载能力；三角波变正弦波电路用于获得正弦波电压。 3.3、内部框图工作原理 ★当给函数发生器ICL8038合闸通电时，电容C的电压为0V，根据电压比较器的电压传输特性，电压比较器Ⅰ和Ⅱ的输出电压均为低电平；因而RS触发器的 ，输出Q=0， ； ★使开关S断开，电流源IS1对电容充电，充电电流为 IS1=I 因充电电流是恒流，所以，电容上电压uC随时间的增长而线性上升。
★当上升为VCC/3时，电压比较器Ⅱ输出为高电平，此时RS触发器的 ，S=0时，Q和 保持原状态不变。 ★一直到上升到2VCC/3时，使电压比较器Ⅰ的输出电压跃变为高电平，此时RS触发器的 时，Q=1时， ，导致开关S闭合，电容C开始放电，放电电流为IS2-IS1=I因放电电流是恒流，所以，电容上电压uC随时间的增长而线性下降。
起初，uC的下降虽然使RS触发的S端从高电平跃变为低电平，但 ，其输出不变。 ★一直到uC下降到VCC/3时，使电压比较器Ⅱ的输出电压跃变为低电平，此时 ，Q=0， ，使得开关S断开，电容C又开始充电，重复上述过程，周而复始，电路产生了自激振荡。
由于充电电流与放电电流数值相等，因而电容上电压为三角波，Q和 为方波，经缓冲放大器输出。三角波电压通过三角波变正弦波电路输出正弦波电压。
结论：改变电容充放电电流，可以输出占空比可调的矩形波和锯齿波。但是，当输出不是方波时，输出也得不到正弦波了。
3.4、方案电路工作原理（见图1-7） 当外接电容C可由两个恒流源充电和放电，电压比较器Ⅰ、Ⅱ的阀值分别为总电源电压（指+Vcc、-VEE）的2。
7.跪求复变函数的论文
4.1.3复变函数项级数 定义4.3设{fn(z)}(n=1, 2， …)为一复变函数列，其中各项均在复数域D上有定义，称表达式∑∞〖〗n=1fn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…（4.2）为复变函数项级数.该级数的前n项和Sn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)为级数的部分和. 若z0为D上的固定点，limn→∞Sn(z)=S(z0)，则称复变函数项级数（4.2）在z0点收敛，z0称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的一个收敛点，收敛点的集合称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的收敛域.若级数∑∞〖〗n=1fn(z)在z0点发散，则称z0为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的发散点，发散点的集合称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的发散域. 若对D内的任意点z，都有limn→∞Sn(z)=S(z)，则称级数∑∞〖〗n=1fn(z)在D内处处收敛.并称S(z)为级数的和函数. 下面我们重点讨论一类特别的解析函数项级数——幂级数，它是复变函数项级数中最简单的情形.4.2幂级数〖〗 在复变函数项级数的定义中，若取fn(z)=an(z-z0)n或fn(z)=anzn(n=1, 2， …)，就得到函数项级数的特殊情形∑∞〖〗n=0an(z-z0)n=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+…+an(z-z0)n+… （4.3）或∑∞〖〗n=0anzn=a0+a1z+a2z2+…+anzn+…（4.4）形如（4.3）或（4.4）的级数称为幂级数，其中，a0, a1， …， an， …和z0均为复常数. 在级数（4.3）中，令z-z0=ξ，则化为式（4.4）的形式，称级数（4.4）为幂级数的标准形式，式（4.3）称为幂级数的一般形式.为方便，今后我们以幂级数的标准形式（4.4）为主来讨论，相关结论可平行推广到幂级数的一般形式（4.3）.4.2.1幂级数的收敛性 关于幂级数收敛问题，我们先介绍下面的定理.定理4.5(Abel定理)若幂级数∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）处收敛，则此级数在|z||z0|内级数发散. 证若∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）处收敛，即级数∑∞〖〗n = 0anzn0收敛，所以limn→∞anzn0=0因而，存在常数M>0使得对所有的n，有|anzn0|所以，∑∞〖〗n=0anzn绝对收敛. 若∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）发散，假设存在一点z1，使得当|z1|>|z0|时，∑∞〖〗n = 0anzn1收敛. 则由上面讨论可知，∑∞〖〗n = 0anzn0收敛，与已知∑∞〖〗n = 0anzn0发散矛盾！因此，∑∞〖〗n=0anzn在|z|>|z0|发散. 由Abel定理，我们可以确定幂级数的收敛范围，对于一个幂级数来说，它的收敛情况有以下三种情形：（1） 对所有正实数z=x， ∑∞〖〗n=0anxn都收敛，由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在复平面上处处绝对收敛；（2） 对所有的正实数x，∑∞〖〗n=0anxn(x≠0)发散，由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在复平面内除原点z=0外处处发散；（3） 既存在使级数收敛的正实数x1>0，也存在使级数发散的正实数x2>0，即z=x1时级数∑∞〖〗n = 0anxn1收敛，z=x2时级数∑∞〖〗n = 0anxn2发散.由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在|z|≤x1内，级数绝对收敛，在|z|≥x2内级数发散. 在情形（3）中，可以证明，一定存在一个有限的正数R，使得幂级数∑∞〖〗n=0anzn在圆|z|R时发散，则称R为幂级数的收敛半径，称|z|约定在第一种情形，R=∞；第二种情形，R=0. 而对于幂级数∑∞〖〗n=0an(z-z0)n，收敛圆是以z0为圆心，R为半径的圆：|z-z0|至于在收敛圆的圆周|z|=R（或|z-z0|=R）上，∑∞〖〗n=0anzn或∑∞〖〗n=0an(z-z0)n的收敛性较难判断，可视具体情况而定. 关于幂级数收敛半径的求法，同实函数的幂级数类似，可以用比值法和根植法.定理4.6（ 幂级数收敛半径的求法）设幂级数∑∞〖〗n=0anzn，若下列条件之一成立：（1） （比值法）limn→∞an+1〖〗an=L;(2) （根值法）limn→∞n〖〗|an|=L.则幂级数∑∞〖〗n=0anzn的收敛半径R=1〖〗L. 证明从略.当L=0时，R=∞；当L=∞时，R=0. 例4.4求下列幂级数的收敛半径：（1） ∑∞〖〗n=1zn〖〗n3（讨论圆周上情形）；（2） ∑∞〖〗n=1(z-1)n〖〗n（讨论z=0, 2的情形）；（3） ∑∞〖〗n=0(cosin)zn. 解（1）因为limn→∞an+1〖〗an=limn→∞1〖〗（n+1）3〖〗1〖〗n3=limn→∞n〖〗n+13=1或者limn→∞n 〖〗|an|=limn→∞n〖〗1〖〗n3=limn→∞1〖〗n〖〗n3=1所以，收敛半径R=1，从而级数的收敛圆为|z|1），所以，级数在圆周|z|=1上也收敛.因此，所给级数的收敛范围为|z|≤1. (2) 由于limn→∞an+1〖〗an=limn→∞1〖〗（n+1）〖〗1〖〗n=limn→∞n〖〗n+1=1，故收敛半径R=1，从而它的收敛圆为|z-1|在圆周|z-1|=1上，当z=0时，原级数成为∑∞〖〗n=1(-1)n1〖〗n（交错级数），所以收敛；当z=2时，原级数为∑∞〖〗n=11〖〗n，发散.表明在收敛圆周上，既有收敛点又有发散点. （3） 由于an=cosin=1〖〗2(en-e-n)，所以limn→∞an+1〖〗an=limn→∞en+1-e-(n+1)〖〗en-e-n=limn→∞en(e-e-2n-1)〖〗en(1-e-2n)=e故收敛半径为R=1〖〗e. 例4.5求幂级数∑∞〖〗n=1(-1)n1+sin1〖〗n-n2zn的收敛半径. 解因为limn→∞n〖〗（-1）n1+sin1〖〗n-n2=limn→∞1+sin1〖〗n-n=limn→∞1+sin1〖〗n1〖〗sin1〖〗n-sin1〖〗n〖〗1〖〗n=e-1故所求收敛半径为R=e. 例4.6求幂级数∑∞〖〗n=1(-i)n-1(2n-1)〖〗2nz2n-1的收敛半径. 解记fn(z)=(-i)n-1(2n-1)〖〗2nz2n-1，则limn→∞fn+1(z)〖〗 fn(z)=limn→∞（2n+1）2n|z|2n+1〖〗（2n-1）2n+1|z|2n-1=1〖〗2|z|2当1〖〗2|z|2当1〖〗2|z|2>1时，即|z|>2时，幂级数发散. 所以，该幂级数的收敛半径为R=2.4.2.2幂级数的运算和性质 和实。
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