众文网1.正定矩阵的研究背景与研究目的,研究内容
相信正定矩阵的定义楼主很清楚。
定义矩阵的正定性是根据二次型来的，这也就是说明正定矩阵的性质反映了一个二次表达式的性质，从另一个角度讲这也给我们提供了一个二次表达式的矩阵表示方法。在最初学函数的时候，我们学过配方法，其实化一个二次型为标准二次型的时候也是利用这个原理，只不过我们通过矩阵的手段来进行计算同时还用到了满值线性变换的一些知识。
其实在数学理论中更愿意研究Hermite二次型的正定问题，因为Hermite矩阵（A=AH（表示共轭转置矩阵））更能和一些工程学科相结合。 另外在数值计算科学中也经常会用到正定矩阵的知识。
比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数矩阵是正定的情况下对任意初始向量是收敛的。 从工程学科来说，举一个控制系统为例，如果可以找到一个利亚普诺夫函数使得它的倒数是负定（也就是说倒数的相反数是正定的）那么这个系统就是渐进稳定的。
2.矩阵的正定性的性质及应用
一. 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型： 设有二次型 ，如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为： 令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 >0（≥0）则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ，都有 例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。 二. 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法： 1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
证明：若 ， 则有 ∴λ>0 反之，必存在U使 即 有 这就证明了A正定。 由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
2.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。 证明：A正定 二次型 正定 A的正惯性指数为n 3.n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使 令 则 令 则 反之， ∴A正定。 同理可证A为半正定时的情况。
4.n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。 证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0，…，0,1,0…0（其中第I个数为1）代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩阵C ，使 5.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。
证明：必要性： 设二次型 是正定的 对每个k,k=1,2，…，n，令 ， 现证 是一个k元二次型。 ∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即A的顺序主子式全大于零。
充分性： 对n作数学归纳法 当n=1时， ∵ ， 显然 是正定的。 假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。
令 ， ， ∴A可分块写成 ∵A的顺序主子式全大于零 ∴ 的顺序主子式也全大于零 由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使 令 ∴ 再令 ， 有 令 ， 就有 两边取行列式，则 由条件 得a>0 显然 即A合同于E ， ∴A是正定的。 三. 负定矩阵的一些判别方法 1.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。
2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。 3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 ， 即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。 四.半正定矩阵的一些判别方法 1. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。
2. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。 3. n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如： 矩阵 的顺序主子式 ， ， ， 但A并不是半正定的。 关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。
3.广义正定矩阵在代数中的应用
广义逆矩阵的理论和方法不仅是许多数学分支的基本工具，而且在经济学、统计学、测量学、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和运筹学等应用学科中都有着广泛的应用。在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，控制论和系统识别问题，网络问题等等中间，广义逆更是不可缺少的研究工具。另一方面，结合环的代数结构的研究方兴未艾，而环上矩阵的广义逆则是揭示环的代数结构的有力工具。近年来，随着广义逆的理论和计算问题研究的深入，广义逆矩阵领域遇到了一系列有待解决的理论问题。 本文，我们通过使用广义逆矩阵的表示理论和矩阵分解的方法研究解决了如下三类问题： 1.广义逆矩阵A_(T,S)~((2)）的秩等式问题 广义逆矩阵的秩等式问题是广义逆理论中的一类重要问题，它在刻划与各种广义逆有关的等式时至关重要。而常见的广义逆，如M-P逆、加权M-P逆、Drazin逆、群逆、Bott-Duffin逆以及广义Bott-Duffin逆都是某种指定了值域和零空间的A_(T,S)~((2)）逆。我们通过使用广义逆A_(T,S)~((2)）的群逆表达式来研究广义逆矩阵的秩等式问题。获得了与一个矩阵A的广义逆A_(T,S)~((2)）、两个矩阵A,B的广义逆A_(T,S)~((2)),B_(T_1,S_1)~((2)）以及分块矩阵M的广义逆M_(T,S)~((2)）的子矩阵有关的秩等式。作为推论，我们获得了一系列与M-P逆、加权M-P逆、Drazin逆、群逆、Bott-Duffin逆以及广义Bott-Duffin逆有关的等式的刻画。 2.分块矩阵的广义逆中子块独立的问题 分块矩阵的广义逆中子块独立的问题已有许多作者研究，但也遗留了一些未解决的问题。我们通过使用六个矩阵的广义奇异值分解QQQQQ-SVD，证明了1998年发表在SIAM J.Matrix Anal.Appl上的一个猜测。 3.除环上矩阵的广义逆问题 除环上矩阵的广义逆对于揭示除环的代数结构以及研究四元数矩阵的广义逆都具有重要意义。我们使用矩阵分解的方法系统地研究了这一问题，建立了除环上矩阵广义逆的A_(T,S)~((2)）理论，研究了除环上矩阵广义逆的反序问题以及除环上加边矩阵的广义逆的结构问题。四元数体上矩阵的广义逆可以作为特款给出。
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4.正定矩阵应用
正定矩阵在对三维空间里的图形进行线性变换时不改变图形的形状，这就是它的最大意义例如：任意一个向量x，跟他垂直的超平面把空间分成两部分，一部分和x在同一侧，即满足和x的内积为正的那侧，一部分在异侧，内积为负。
由定义，正定的线性变换把任意一个向量x都变到x的同侧。
如果它有实特征值，必定是正数，否则的话它会把这特征向量变到另侧。
一个线性变换把一组幺正基e1,。,en变到另一组向量v1,。,vn，这n个新向量的端点和原点一起构成一个多面体。这多面体的体积就是线性变换的行列式。对正定变换来说，其行列式为正，所以这个多面体非退化，且v1,。,vn确定的定向和e1,。,en确定的定向相同。
补充：不会保持形状不变.保持不变的必须是等距，就是说，必须是正交变换O(n).
正定变换一般最常见的情况是正定对称变换.正定对称变换最常见的情况是用来定义内积.即定义<x,y> = x'Ay为x,y的内积.欧氏空间的内积用I来定义，即<x,y>=x'y.
5.正定二次型和正定矩阵的判定
将原式展开配方整理得：
f=(x1+(1/2)∑[j=2,n]xj)^2+(3/4)(x2+(1/3)∑[j=3,n]xj)^2
+。+[n/(2n-2)](x(n-1)+xn/n)^2+[(n+1)/(2n)]xn^2
令：
y1=x1+(1/2)∑[j=2,n]xj
y2=x2+(1/3)∑[j=3,n]xj
y(n-1)=x(n-1)+xn/n
yn=xn
即：
x1=y1-y2/2-y3/3-。-y(n-1)/(n-1)-yn/n
x2=y2-y3/3-。-y(n-1)/yn
x(n-1)=y(n-1)-yn/n
xn=yn
则原二次型化为f=y1^2+3y2^2/4+。+ny(n-1)^2/(2n-2)+(n+1)yn^2/(2n)
线性替换的矩阵为T=
1 -1/2 -1/3 。 -1/(n-1) -1/n
0 1 -1/3 。 -1/(n-1) -1/n
0 0 1 。 -1/(n-1) -1/n
。。。。。。。。。。。。..
0 0 0 。 1 -1/n
0 0 0 。 0 1
则T'AT=diag{1,3/4,4/6,。,n/(2n-2),(n+1)/(2n)}
为正定二次型
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