众文网1.实变函数论的内容
以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。
实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么是测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。
为了推广积分概念，1893年，约当（Camille Jordan）在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”（Jordan measure）的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔（Borel, Emile）（把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。
勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成B类函数的极限，就说A类函数能以B类函数来逼近。如果已经掌握B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。
和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。
2.实变函数
实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。
数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。
比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。
又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。
后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。
由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。
这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。
实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。
什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。
实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。 由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。
什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。
集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。
1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。
勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。
从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。 这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。
什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。
逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。
和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。
实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。 。
3.跪求复变函数的论文
4.1.3复变函数项级数 定义4.3设{fn(z)}(n=1, 2， …)为一复变函数列，其中各项均在复数域D上有定义，称表达式∑∞〖〗n=1fn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…（4.2）为复变函数项级数.该级数的前n项和Sn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)为级数的部分和. 若z0为D上的固定点，limn→∞Sn(z)=S(z0)，则称复变函数项级数（4.2）在z0点收敛，z0称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的一个收敛点，收敛点的集合称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的收敛域.若级数∑∞〖〗n=1fn(z)在z0点发散，则称z0为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的发散点，发散点的集合称为级数∑∞〖〗n=1fn(z)的发散域. 若对D内的任意点z，都有limn→∞Sn(z)=S(z)，则称级数∑∞〖〗n=1fn(z)在D内处处收敛.并称S(z)为级数的和函数. 下面我们重点讨论一类特别的解析函数项级数——幂级数，它是复变函数项级数中最简单的情形.4.2幂级数〖〗 在复变函数项级数的定义中，若取fn(z)=an(z-z0)n或fn(z)=anzn(n=1, 2， …)，就得到函数项级数的特殊情形∑∞〖〗n=0an(z-z0)n=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+…+an(z-z0)n+… （4.3）或∑∞〖〗n=0anzn=a0+a1z+a2z2+…+anzn+…（4.4）形如（4.3）或（4.4）的级数称为幂级数，其中，a0, a1， …， an， …和z0均为复常数. 在级数（4.3）中，令z-z0=ξ，则化为式（4.4）的形式，称级数（4.4）为幂级数的标准形式，式（4.3）称为幂级数的一般形式.为方便，今后我们以幂级数的标准形式（4.4）为主来讨论，相关结论可平行推广到幂级数的一般形式（4.3）.4.2.1幂级数的收敛性 关于幂级数收敛问题，我们先介绍下面的定理.定理4.5(Abel定理)若幂级数∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）处收敛，则此级数在|z||z0|内级数发散. 证若∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）处收敛，即级数∑∞〖〗n = 0anzn0收敛，所以limn→∞anzn0=0因而，存在常数M>0使得对所有的n，有|anzn0|所以，∑∞〖〗n=0anzn绝对收敛. 若∑∞〖〗n=0anzn在z=z0（≠0）发散，假设存在一点z1，使得当|z1|>|z0|时，∑∞〖〗n = 0anzn1收敛. 则由上面讨论可知，∑∞〖〗n = 0anzn0收敛，与已知∑∞〖〗n = 0anzn0发散矛盾！因此，∑∞〖〗n=0anzn在|z|>|z0|发散. 由Abel定理，我们可以确定幂级数的收敛范围，对于一个幂级数来说，它的收敛情况有以下三种情形：（1） 对所有正实数z=x， ∑∞〖〗n=0anxn都收敛，由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在复平面上处处绝对收敛；（2） 对所有的正实数x，∑∞〖〗n=0anxn(x≠0)发散，由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在复平面内除原点z=0外处处发散；（3） 既存在使级数收敛的正实数x1>0，也存在使级数发散的正实数x2>0，即z=x1时级数∑∞〖〗n = 0anxn1收敛，z=x2时级数∑∞〖〗n = 0anxn2发散.由Abel定理，∑∞〖〗n=0anzn在|z|≤x1内，级数绝对收敛，在|z|≥x2内级数发散. 在情形（3）中，可以证明，一定存在一个有限的正数R，使得幂级数∑∞〖〗n=0anzn在圆|z|R时发散，则称R为幂级数的收敛半径，称|z|约定在第一种情形，R=∞；第二种情形，R=0. 而对于幂级数∑∞〖〗n=0an(z-z0)n，收敛圆是以z0为圆心，R为半径的圆：|z-z0|至于在收敛圆的圆周|z|=R（或|z-z0|=R）上，∑∞〖〗n=0anzn或∑∞〖〗n=0an(z-z0)n的收敛性较难判断，可视具体情况而定. 关于幂级数收敛半径的求法，同实函数的幂级数类似，可以用比值法和根植法.定理4.6（ 幂级数收敛半径的求法）设幂级数∑∞〖〗n=0anzn，若下列条件之一成立：（1） （比值法）limn→∞an+1〖〗an=L;(2) （根值法）limn→∞n〖〗|an|=L.则幂级数∑∞〖〗n=0anzn的收敛半径R=1〖〗L. 证明从略.当L=0时，R=∞；当L=∞时，R=0. 例4.4求下列幂级数的收敛半径：（1） ∑∞〖〗n=1zn〖〗n3（讨论圆周上情形）；（2） ∑∞〖〗n=1(z-1)n〖〗n（讨论z=0, 2的情形）；（3） ∑∞〖〗n=0(cosin)zn. 解（1）因为limn→∞an+1〖〗an=limn→∞1〖〗（n+1）3〖〗1〖〗n3=limn→∞n〖〗n+13=1或者limn→∞n 〖〗|an|=limn→∞n〖〗1〖〗n3=limn→∞1〖〗n〖〗n3=1所以，收敛半径R=1，从而级数的收敛圆为|z|1），所以，级数在圆周|z|=1上也收敛.因此，所给级数的收敛范围为|z|≤1. (2) 由于limn→∞an+1〖〗an=limn→∞1〖〗（n+1）〖〗1〖〗n=limn→∞n〖〗n+1=1，故收敛半径R=1，从而它的收敛圆为|z-1|在圆周|z-1|=1上，当z=0时，原级数成为∑∞〖〗n=1(-1)n1〖〗n（交错级数），所以收敛；当z=2时，原级数为∑∞〖〗n=11〖〗n，发散.表明在收敛圆周上，既有收敛点又有发散点. （3） 由于an=cosin=1〖〗2(en-e-n)，所以limn→∞an+1〖〗an=limn→∞en+1-e-(n+1)〖〗en-e-n=limn→∞en(e-e-2n-1)〖〗en(1-e-2n)=e故收敛半径为R=1〖〗e. 例4.5求幂级数∑∞〖〗n=1(-1)n1+sin1〖〗n-n2zn的收敛半径. 解因为limn→∞n〖〗（-1）n1+sin1〖〗n-n2=limn→∞1+sin1〖〗n-n=limn→∞1+sin1〖〗n1〖〗sin1〖〗n-sin1〖〗n〖〗1〖〗n=e-1故所求收敛半径为R=e. 例4.6求幂级数∑∞〖〗n=1(-i)n-1(2n-1)〖〗2nz2n-1的收敛半径. 解记fn(z)=(-i)n-1(2n-1)〖〗2nz2n-1，则limn→∞fn+1(z)〖〗 fn(z)=limn→∞（2n+1）2n|z|2n+1〖〗（2n-1）2n+1|z|2n-1=1〖〗2|z|2当1〖〗2|z|2当1〖〗2|z|2>1时，即|z|>2时，幂级数发散. 所以，该幂级数的收敛半径为R=2.4.2.2幂级数的运算和性质 和实。
转载请注明出处众文网 » 实变函数毕业论文(实变函数论的内容)