众文网1.关于布劳威尔不动点定理
凸集的条件应该不是本质的， 重要的是与闭球同胚.
实际上， 若拓扑空间X同胚于n维闭单位球， 映射f: X → X连续， 则f在X中存在不动点.
证明： 设φ： X → D是X到n维闭单位球的同胚映射， ψ： D → X为其逆映射 （也是同胚映射）.
由f: X → X连续， 可知g = φ·f·ψ： D → D连续.
根据Brouwer不动点定理， g在D中存在不动点， 不妨设y ∈ D满足g(y) = y， 即φ·f·ψ（y） = y.
由ψ为φ的逆映射， 有ψ（y） = ψ·φ·f·ψ（y） = f（ψ（y）).
即x = ψ（y） ∈ X为f的不动点.
2.不动点原理是什么
关于方程的一种一般理论。数学里到处要解方程，诸如代数方程、函数方程、微分方程等等，种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成ƒ（x）=x的形状，这里x 是某个适当的空间Χ中的点，ƒ是从Χ到Χ的一个映射或运动，把每一点x移到点ƒ（x）。方程ƒ（x）=x的解恰好就是在ƒ这个运动之下被留在原地不动的点，故称不动点。于是，解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法。研究方法主要是拓扑的和泛函分析的（见非线性算子）。
常见的不动点定理 压缩映射原理（C.(C.-)É.皮卡（1890）;S.巴拿赫（1922））：设X是一个完备的度量空间，映射ƒ：Χ→Χ 把每两点的距离至少压缩λ倍，即d（ƒ（x），ƒ（y））≤λd(x,y)，这里λ是一个小于1的常数，那么ƒ必有而且只有一个不动点，而且从Χ的任何点x0出发作出序列，这序列一定收敛到那个不动点。这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础。由于分析学的需要，这定理已被推广到非扩展映射、概率度量空间、映射族、集值映射等许多方面。
布劳威尔不动点定理（1910）：设Χ是欧氏空间中的紧凸集，那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解。把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间，就是绍德尔不动点定理（1930），常用于偏微分方程理论。这些定理可以从单值映射推广到集值映射，除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学。
不动点指数 不动点的个数有两种数法。代数上通常说n次复多项式有n个复根，是把一个k重根算作k个根的；如果不把重数统计在内，根的个数就可以小于n。推广根的重数概念，可以定义不动点的指数，它是一个整数，可正可负可零，取决于映射在不动点附近的局部几何性质。一个映射的所有不动点的指数的总和，称为这映射的不动点代数个数，以别于不动点的实际个数。莱夫谢茨不动点定理：设Χ是紧多面体，ƒ：Χ→Χ是映射，那么ƒ的不动点代数个数等于ƒ的莱夫谢茨数L（ƒ），它是一个容易计算的同伦不变量，可以利用同调群以简单的公式写出。当L（ƒ）≠0时，与ƒ同伦的每个映射都至少有一个不动点。这个定理既发展了布劳威尔定理，也发展了关于向量场奇点指数和等于流形的欧拉数的庞加莱-霍普夫定理，把它进一步推广到泛函空间而得的勒雷-绍德尔参数延拓原理，早已成为偏微分方程理论的标准的工具。
J.尼尔斯1927年发现，一个映射ƒ 的全体不动点可以自然地分成若干个不动点类，每类中诸不动点的指数和都是同伦不变量。指数和不为0的不动点类的个数，称为这映射的尼尔斯数N（ƒ）。只要Χ是维数大于2的流形，N（ƒ）恰是与 ƒ同伦的映射的最少不动点数。这就提供了研究方程的解的实际个数（而不只是代数个数）的一种方法。
莱夫谢茨定理的一个重要发展是关于微分流形上椭圆型算子与椭圆型复形的阿蒂亚-辛格指标定理与阿蒂亚-博特不动点定理。 不动点的计算 上述各种不动点定理，除压缩映射原理外，都未给出不动点的具体求法。由于应用上的需要，不动点算法的研究正在蓬勃发展，以求把拓扑的思路落实为快速、实用的计算方法。
3.费马点的论文
费马点发现者
费马
费马（Fermat,Pierre de Fermat） (1601~1665)法国数学家，被誉为“业余数学家之王。”费马（也译为“费尔马”）1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。 图卢兹
费马点定义
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 （1）若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 （2）若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
编辑本段费马点的判定
(1)对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E，若EA+EB+EC有最小值，则E为费马点。 费马点的计算
(2)如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
编辑本段证明
我们要如何证明费马点呢： 费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120度。 △CC1B和△AA1B中，BC=BA1,BA=BC1，∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1， △CC1B和△AA1B是全等三角形，得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度，所以∠CPB=120度 同理，∠APB=120度，∠APC=120度 （2）PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上， 又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G（同上），则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。 平面四边形费马点 平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。 （1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。 费马点
(2)在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D(P)。 经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法： 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
编辑本段费马点性质：
费马点
(1)平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。 特殊三角形中： （2）.三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1，然后连接AA1,BB1,CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点. （3）.若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. （4）当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合！！！这是资料，自己写吧
4.关于布劳威尔不动点定理
凸集的条件应该不是本质的， 重要的是与闭球同胚.实际上， 若拓扑空间X同胚于n维闭单位球， 映射f: X → X连续， 则f在X中存在不动点.证明： 设φ： X → D是X到n维闭单位球的同胚映射， ψ： D → X为其逆映射 （也是同胚映射）.由f: X → X连续， 可知g = φ·f·ψ： D → D连续.根据Brouwer不动点定理， g在D中存在不动点， 不妨设y ∈ D满足g(y) = y， 即φ·f·ψ（y） = y.由ψ为φ的逆映射， 有ψ（y） = ψ·φ·f·ψ（y） = f（ψ（y））.即x = ψ（y） ∈ X为f的不动点。
5.求有关罗素悖论论文
经过艰苦卓绝的战斗，笔者在西历2009年10月15日（仿SWB）终于攻克了卓里奇的第一章，笔者在学习的过程中发现书上的一些而问题还是非常有趣的，现总结如下：
罗素悖论：
罗素悖论的通俗表达是：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
我们将这个问题抽象化：设M为一集合，P(M)表示M“是不以自己作为元素的集”这样一种性质。考察具有性质P的集合的类K={M|P(M)}。如果K是集合，那么，或者P(K)为真，或者非P(K)为真。然而，两者择一对于K是不可能的。实际上，p(K)不成立，因为由K的定义推知K包含着K，即非P(K)为真，另一方面，非P(K)也是不可能真的，因为这就表示K包含着K，而这与K的定义，亦即，他是不含自身类那样的集合的类，相矛盾.因此，K不是集合。
罗素悖论是朴素集合论所导致的悖论之一，它导致了第三次数学危机，迫使人们建立了公理化集合系统。在该系统中，我们证明“一切集合的集合A”不存在（它是x∈x可以成立的充分条件），它正是罗素悖论中集合M的定义域，若它不存在，则由分出公理（对任何集合A及性质P，有这样的集合B，它所含的元素，是且仅是A中的那些具有性质P的元素），M没有来源，也不存在。下面来证明“一切集合的集合A”不存在：
先证明康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X).证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X)，现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X)，，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X，使f(a)=A，这个元素a∈X既不能有a∈A（据A的定义），也不能有a不∈A（也是根据A的定义），这与排中律矛盾。得证。
回过头来，若“一切集合的集合A”存在，由康托尔定理知cardA<cardP(A).但由A的定义知：P(A)是A的子集，故cardA≥cardP(A).矛盾！因此A不存在。
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