众文网1.柯西不等式的研究现状
分析：柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数证不等式
例：设a、b、c为正数且互不相等。
求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又9=(1+1+1)^2
∴只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1）^2=9
又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足
∴原不等式成立
求某些函数最值
例：求函数y=3√（x-5）+4√（9-x）的最大值。
注：“√”表示平方根。
函数的定义域为[5, 9],y>0
y=3√（x-5）+4√（9-x）
≤√（3^2+4^2）*√{ [√（x-5）] ^2 + [√（9-x）] ^2 }
=5*2=10
函数在且仅在4√（x-5）=3√（9-x），即x=6.44时取到。
以上只是柯西不等式的部分示例。更多示例请参考有关文献。
[编辑本段]【柯西简介】
柯西（Cauchy, Augustin-Louis, 1789-1857），法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名。不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子相反。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。
柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础
2.柯西不等式应用前景与意义
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用
巧拆常数证不等式
例：设a、b、c为正数且互不相等。
求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又9=(1+1+1)^2
∴只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1）^2=9
又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足
∴原不等式成立
求某些函数最值
例：求函数y=3√（x-5）+4√（9-x）的最大值。
注：“√”表示平方根。
函数的定义域为[5, 9],y>0
y=3√（x-5）+4√（9-x）
≤√（3^2+4^2）*√{ [√（x-5）] ^2 + [√（9-x）] ^2 }
=5*2=10
函数在且仅在4√（x-5）=3√（9-x），即x=6.44时取到。
以上只是柯西不等式的部分示例。更多示例请参考有关文献。
3.柯西不等式
x²/（1+x²）+y²/（1+y²）+z²/（1+z²）=2 (a)
∵ （1+x²）/（1+x²）+（1+y²）/（1+y²）+（1+z²）/（1+z²）=3
∴下式-上式，得
1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)=1 (b)
这里用a,b开始使用柯西不等式
a*b
=[x²/（1+x²）+y²/（1+y²）+z²/（1+z²）]*[1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)]≥[x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²)]²
即x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) ≤√（2*1）=√2
x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) 的最大值=√2
很高兴为您解答，祝你学习进步！
有不明白的可以追问！如果您认可我的回答，请选为满意答案，并点击好评，谢谢！
4.有关柯西不等式
柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 二维形式 （a^2+b^2）(c^2 + d^2)≥（ac+bd）^2 等号成立条件：ad=bc 三角形式 √（a^2+b^2）+√（c^2+d^2）≥√[（a-c）^2+(b-d)^2] 等号成立条件：ad=bc 注：“√”表示平方根， 向量形式 |α||β|≥|α·β|，α=（a1,a2，…，an），β=（b1,b2，…，bn）(n∈N,n≥2) 等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
一般形式 （∑ai^2）（∑bi^2） ≥ （∑ai·bi）^2 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。 上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式 （x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx）^(1/n)+（Πy）^(1/n)+…]^n 注：“Πx”表示x1,x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均 不小于各列元素之和的几何平均之积。
（应为之积的几何平均之和） 柯西不等式的证明及应用 （河西学院数学系01(2)班 甘肃张掖 734000） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。
关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： O178 Identification and application of Cauchy inequality Chen Bo (department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000) Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples. Keyword:inequation prove application 柯西（Cauchy）不等式 等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 = 恒成立 即 当且仅当 即时等号成立 证明（2）数学归纳法 （1）当时 左式= 右式= 显然 左式=右式 当 时， 右式 右式 仅当即 即时等号成立 故时 不等式成立 （2）假设时，不等式成立 即 当 ，k为常数， 或时等号成立 设 则 当 ，k为常数， 或时等号成立 即 时不等式成立 综合（1）(2)可知不等式成立 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题 例1. 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 已知点及直线 设点p是直线上的任意一点， 则 （1） (2) 点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有 由（1）(2)得： 即 （3） 当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式 即 2） 证明不等式 例2 已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得： 故 3） 解三角形的相关问题 例3 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明 证明：由柯西不等式得， 记为的面积，则 故不等式成立。
4） 求最值 例4已知实数满足， 试求的最值 解：由柯西不等式得，有 即 由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立， 代入时， 时 5）利用柯西不等式解方程 例5.在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得 ① 又 即不等式①中只有等号成立 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与联立，可得 6）用柯西不等式解释样本线性相关系数 在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。
现记，，则， ，由柯西不等式有， 当时， 此时，，为常数。点 均在直线 上， 当时， 即 而 为常数。
此时，此时，，为常数 点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大 当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。
5.柯西不等式
二维形式
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd）^2
等号成立条件：ad=bc
三角形式
√（a^2+b^2）+√（c^2+d^2）≥√[（a-c）^2+(b-d)^2]
等号成立条件：ad=bc
注：“√”表示平方根，
向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=（a1,a2，…，an），β=（b1,b2，…，bn）(n∈N,n≥2)
等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
一般形式
（∑ai^2）（∑bi^2） ≥ （∑ai·bi）^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式
(x1+y1+…)（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx）^(1/n)+（Πy）^(1/n)+…]^n
注：“Πx”表示x1,x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均
不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）
6.柯西不等式
西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
二维形式
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd）^2
等号成立条件：ad=bc
三角形式
√（a^2+b^2）+√（c^2+d^2）≥√[（a-c）^2+(b-d)^2]
等号成立条件：ad=bc
注：“√”表示平方根，
向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=（a1,a2，…，an），β=（b1,b2，…，bn）(n∈N,n≥2)
等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
一般形式
（∑ai^2）（∑bi^2） ≥ （∑ai·bi）^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式
(x1+y1+…)（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx）^(1/m)+（Πy）^(1/m)+…]^m
注：“Πx”表示x1,x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均
不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和） [编辑本段]【柯西不等式的证明】 二维形式的证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
≥（ac+bd）^2，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
一般形式的证明
求证：（∑ai^2）（∑bi^2） ≥ （∑ai·bi）^2
证明：
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立
令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2
当a1,a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0
构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，展开得：
f(x)=∑（ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2）=∑ （ai·x+bi）^2≥0
故f(x)的判别式△=4B^2-4AC≤0,
移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。
向量形式的证明
令m=(a1, a2， …， an),n=(b1, b2， …， bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>；=√（a1^2+a2^2+…+an^2） *√（b1^2+b2^2+…+bn^2） *cos<m, n>
∵cos<m, n>；≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√（a1^2+a2^2+…+an^2） *√（b1^2+b2^2+…+bn^2）
注：“√”表示平方根。
注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。[编辑本段]【柯西不等式的应用】 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数证不等式
7.论文：简析数学家柯西的一生
奥古斯丁·路易·柯西于1789年8月21日出生于高级官员家庭。大约在1805年时，他就读于巴黎综合理工学院。他在数学方面有杰出的表现，被任命为法国科学院院士等大学的重要职位。1830年柯西拒绝效忠新国王，并自行离开了法国。大约在十年后，他担任了巴黎综合理工学院教授。在1848年时，在巴黎大学担任教授。柯西一生写了大约八百篇论文，这些论文编成《柯西著作全集》，由1882年开始出版。
主要贡献
奥古斯丁·路易·柯西一生曾发现和证明过很多微分方程，主要列表如下：
柯西判别法
柯西积分定理
柯西积分公式
柯西-施瓦茨不等式
柯西分布
柯西数列
柯西-黎曼方程
柯西积
柯西–比内公式
柯西-欧拉方程
柯西方程
柯西问题
柯西边界条件
柯西面
积分检验
转载请注明出处众文网 » 柯西不等式毕业论文(柯西不等式的研究现状)