众文网1.关于国内外黎曼函数的研究成果
简介
黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。
此函数在微积分中有着重要应用。
定义
R(x)=0，如果x=0,1或（0,1）内的无理数；
R(x)=1/q，如果x=p/q(p/q为既约真分数)，即x为（0,1）内的有理数。
性质
定理：黎曼函数在区间（0,1）内的极限处处为0。
证明：对任意x0∈（0,1），任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0，ε）中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。
推论：黎曼函数在（0,1）内的无理点处处连续，有理点处处不连续。
推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）
证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
变体
R(x)=0，如果x为任意无理数；
R(x)=1/q，如果x=p/q(p∈Z,q∈Z+,(p,q)=1），即x为任意非零有理数；
R(x)=1，如果x=0。
这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。
2.关于国内外黎曼函数的研究成果
简介
黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。
此函数在微积分中有着重要应用。
定义
R(x)=0，如果x=0,1或（0,1）内的无理数；
R(x)=1/q，如果x=p/q(p/q为既约真分数)，即x为（0,1）内的有理数。
性质
定理：黎曼函数在区间（0,1）内的极限处处为0。
证明：对任意x0∈（0,1），任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0，ε）中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。
推论：黎曼函数在（0,1）内的无理点处处连续，有理点处处不连续。
推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）
证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
变体
R(x)=0，如果x为任意无理数；
R(x)=1/q，如果x=p/q(p∈Z,q∈Z+,(p,q)=1），即x为任意非零有理数；
R(x)=1，如果x=0。
这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。
3.黎曼函数提出的意义
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7，等等。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。
著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。
他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。
而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。
若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。进展：Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢？ 在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数： Riemann ζ 函数。
这个函数虽然挂着 Riemann 的大名， 其实并不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解， 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。
后人为了纪念 Riemann 的卓越贡献， 就用他的名字命名了这一函数。 那么究竟什么是 Riemann ζ 函数呢？ Riemann ζ 函数 ζ（s） 是级数表达式 （n 为正整数） ζ（s） = ∑n n-s (Re(s) > 1） 在复平面上的解析延拓。
之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 （否则级数不收敛）。 Riemann 找到了这一表达式的解析延拓 （当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语）。
运用路径积分， 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为：如右上角图 式中的积分实际是一个环绕正实轴 （即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0） 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ（s） 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ（s）=(s-1)。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。
这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。 编辑本段黎曼猜想 运用右上角图中的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式： ζ（s） = 2Γ（1-s）(2π)s-1sin（πs/2）ζ（1-s） 从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin（πs/2） 为零[注三]。
复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。
这些零点分布有序、性质简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 （trivial zeros）。 除了这些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 （non-trivial zeros） 。
对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想。
Riemann 猜想： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。 这就是 Riemann 猜想的内容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。
从其表述上看， Riemann 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。 编辑本段证明黎曼猜想的尝试 黎曼1859年在他的论文 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe' 中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。
黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ½ + it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。 1896年，雅克·阿达马和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。
连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。
1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，黎曼猜想与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上第8号问题。当被问及若他一觉醒来已是五百年后他将做什么时，希尔伯特有名地说过他的第一个问题将是黎曼猜想有否被证明。
（Derbyshire 2003:197; Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16）. 黎曼猜想是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。 1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线Re(s) = ½上。
然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也就是计算零点在临界线 Re(s) = ½ 上的平均密度。
近几十年的工作集中于清楚的计算大量零点的位置（希望借此能找到一。
4.黎曼在数学上有什么成就
1854年6月10日，为了取得哥廷根大学的讲师职位，德国数学家黎曼（1826~1866）以“关于构成几何基础的假设”论文作了就职演讲，受到了与会数学家们的认可和好评。
黎曼的这篇论文被人们认为是19世纪数学史上的杰作之一。事实上，当初为了确定论文的选题，黎曼向高斯提交了3个题目，让高斯从中选定一个。其中第3个题目是涉及几何基础的，这个题目高斯已经考虑了6年之久，黎曼当时并没有太多准备，因此他从心底里不希望高斯选中它，但高斯却偏偏指定了第3个题目。
在演讲中，黎曼提到他的思想受到两方面的影响：一是高斯关于曲面的研究，一是赫尔巴特的哲学思想。全文分三个部分，第一部分是维流形的观念，第二部分是维流形的测度关系，第三部分是对空间的应用。黎曼的这篇演讲稿发展了高斯关于曲面的微分几何研究，建立起黎曼几何学的基础，他的工作很快由继承人进一步发展，成为后来广义相对论的数学基础。
黎曼一生著述不多，但几平他的每一篇论文都是数学某一领域的开创性工作。有数学家评论说：“黎曼是一个富有想像的天才，他的想法即使没有证明，也鼓舞了一个世纪的数学家。”黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一。遗憾的是，这位伟大的数学家正值创造高峰时却英年早逝，去世时还不到40岁。
5.谁能帮我找找狄利克雷函数与黎曼函数的资料
狄利克雷函数的性质 1. 定义在整个数轴上。
2. 无法画出图像。 3. 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。
4. 处处无极限、不连续、不可导。 5. 在任何区间上不黎曼可积。
6. 是偶函数。 7.它在[0,1]上勒贝格可积 下面这样定义的函数称为黎曼函数： R(x)=0，如果x=0,1或（0,1）内的无理数； R(x)=1/q，如果x=p/q(p/q为即约真分数)，即x为（0,1）内的有理数； 此函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。
此函数在微积分中有着重要应用。 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。
他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。 由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。
当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。
1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。
l851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。 因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。
1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。
黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。
复变函数论的奠基人 19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。
1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。
在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。
他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。
他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。 黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。
黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。 1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年（1868年）以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。
演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。 为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。
文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。
黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。
黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形。
6.关于黎曼函数的具体应用
所谓黎曼函数R(x)，是定义在区间0~1上的一个构造函数：当x是有理数p/q(p、q为互质整数)时，R(x)=1/q；当x是无理数时，R(x)=0.黎曼函数是由黎曼进行定义，用来作为数学分析中反例说明函数方面的待证性质的。如：黎曼函数在（0,1）内所有无理数点处连续，在所有有理数点处间断。每一点处都存在着极限，且极限都是0（可见间断点都属第一类中的可去间断点）。这个函数在[0,1]上可积，它在[0,1]上的定积分为0，等等。下面将对黎曼函数的间断点是第一类间断点中的可去间断点进行证明。
先证明对于（0,1）中的任意一点a，当x→a时，limR(x)=0，这是因为，对任意正数ε，要使|R(x)-0|>；ε成立，x显然不能取为无理数，因为x为无理数时，R(x)=0，不可能让0大于正数ε。而当x为有理数p/q时，R(x)=1/q.而要|R(x)-0|>；ε成立，即1/q>；ε，q<1/ε.但明显地，使这一式子成立的正整数q不会超过[1/ε]，只有有限个。那么，形如p/q的这种最简真分数的个数也最多只有有限个。设这些有理数分别记为x1,x2，……，xk.然后，我们在|x1-a|、|x2-a|、……、|xk-a|中通过比较，一定能选择出最小的正数|Xi-a|，并令δ=|xi-a|/2.即存在着正数δ，当0<|x-a|<；δ时，|R(x)-0|<；ε.所以，x→a时，R(x)→0.利用这一结论知，当a为无理数时，R(x)在x=a处因极限值等于函数值，故而连续；当a为有理数点时，虽然R(x)在x=a处有极限0，但函数值R(a)不为0，从而x=a成为R(x)的第一类间断点中的可去间断点。证毕。
望采纳
7.广义黎曼猜想的黎曼ζ 函数
黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为到达它的顶峰非常困难，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？
在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：
黎曼ζ 函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。
那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢？黎曼ζ 函数 ζ（s） 是级数表达式 （n 为正整数） ζ（s） = ∑n n^-s (Re(s) >1） 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) >1 的区域 （否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 （当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语）。 运用路径积分， 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：
这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 （即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0） 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ（s） 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ（s）=(s-1)。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是黎曼ζ 函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：
ζ（s） = 2Γ（1-s）(2π)s-1sin（πs/2）ζ（1-s） 从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin（πs/2） 为零[注三]。 复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 （trivial zeros）。 除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 （non-trivial zeros） 。
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