众文网1.常微分论文 摘要【翻译】
Abstract This paper introduces the concept of ordinary differential equations, as well as the relevant basic principles and on the development of ordinary differential equations in real life as well as its important role. With the modernization of scientific and technological progress and industrial development, physics, chemistry, biology, engineering, aerospace, medical, economic and financial areas of the many principles and laws can be described as an appropriate ordinary differential equations, such as Newton's laws of motion, gravity law, law of conservation of mechanical energy, energy conservation law, the law of population development, ecological population competition, disease transmission, genetic variation, the trend of the stock's up V, the floating interest rates, the market equilibrium price changes. Mathematical Modeling and usually for production, management, social, economic and other areas raised in the original questions, which basically did not undergo any processing, there is no fixed form, but also do not see a clear solution, therefore, the mathematical process modeling is an ability to nurture our students and innovative thinking to create the capacity of "practice", through mathematical modeling, the life of the practical relevance of the issues on the theory of knowledge, the school truly be used, apply what they have learned. Description of these issues, understanding and analysis of the corresponding reduced to ordinary differential equations to describe the mathematical model study. Therefore, the theory of ordinary differential equations and methods are widely used not only in natural sciences, and more and more used in various fields of social science. In this paper, the origin of the development of ordinary differential equations, theory of knowledge and the basic principles of starting applications, through the life of the two practical problems: Shan-hui to promote new products, milk and prevention of infectious diseases research, a systematic introduction often Differential Equations in Mathematical Modeling.。
2.谁知道有关常微分方程的论文 十万火急
二 测定考古发掘物的年龄
利用放射现象我们还可以测定考古发掘物的年龄。这个方法的依据很简单，地于周围的大气层不断的受到宇宙射线的轰击。这些宇宙射线使地球中的大气产生中子，这些中子同氮发生作用产生 。因为 会发生放射性衰变，所以通常称这种碳为放射性碳。这种放射性碳又结合到二氧化碳中在大气中漂动而被植物吸收。动物通过吃植物又把放射性碳带入它们的组织中，在活的组织中， 的摄取率正好与 的衰变率相平衡。但是，当组织死亡以后，它就停止摄取 ，因此 的浓度因 的衰变而减少。地球的大气被宇宙射线轰击的速度始终不变，这是一个基本的物理假设。这就意味着，在挖掘中有木炭这样的物质时， 原来的蜕变速度同现在测量出来的蜕变速度是一样的。这样我们就可以测定木炭样品的年龄。设 表示在时刻 样品中存在的 的数量，单们时间衰变的原子数 与 成比例。即：
表示在时刻 时样品中的数量状况，即样品形成时的数量。若 是 的衰变常数（ 的半衰期是5568年），则 ， 。
所以 则有
由此我们测出木炭中 目前的蜕变速度 ， 而来的蜕变速度是 ，因此： ，从而 。
所以如果我们测出木炭中 目前的蜕变速度 ，并且注意到 必须等于相当数量的活的树木中 的蜕变速度，那么我们就能算出木炭的年龄，从而知道发掘物的年龄。
三 在军事上的应用
利用常微分方程可了解深水炸弹在水下的运动。一质量为 的深水炸弹，从高为 处自由下落到水中。如果不考虑人水炸弹在水平方向的运动，而仅考虑它在竖直方向的运动。由经典力学知：物体从高为 米处自由下落至海平面时，其竖直方向的速度 为： （ 为重力加速度）。深水炸弹自高度为 米处自由下落至海平面的瞬时时间为 ，于是深水炸弹的初始状态为：
3.常微分方程定性理论和稳定性理论一样
由于绝大多数微分方程不能用初等函数的积分来表出通解，而且在工程、物理学、天文学中出现的微分方程又并不一定要求出解，而只需要知道解的某些性质，因此定性理论在微分方程理论中和实际应用上都占有重要地位。
通过微分方程（形如）右侧函数的性质来研究其解的性态的理论。 由于绝大多数微分方程不能用初等函数的积分来表出通解，而且在工程、物理学、天文学中出现的微分方程又并不一定要求出解，而只需要知道解的某些性质，因此定性理论在微分方程理论中和实际应用上都占有重要地位。
19世纪30年代，C。-F。
斯图姆对多项式根的分布问题的研究是大家熟知的。 同时他也把这种定性思想应用到常微分方程，获得了重要和有趣的结果，即有关解的零点分布的有名的斯图姆比较定理和振动定理。
19世纪末，（J。-）H。
庞加莱和Α。М。
李亚普诺夫把这种定性思想应用于对天体力学一般问题的研究，比较系统地发展了一套研究非线性微分方程的定性方法。 庞加莱的《微分方程所定义的积分曲线》和李亚普诺夫的《运动稳定性理论》是定性理论中的经典著作，而庞加莱的几何方法乃是后来蓬勃发展起来的代数拓扑学和微分拓扑学的先驱，对近代数学的发展起了积极的推动作用。
20世纪20年代，荷兰无线电技术工程师范德坡对电子三极管的振荡电路建立了一个数学模型（即范德坡方程：尦+μ（x2-1）凧+x=0，μ>0），而且由此发现三极管的稳态振荡对应于庞加莱的稳定极限环。 这一事实首先引起了苏联学者，然后是欧美学者的极大兴趣，推动了微分方程定性理论广泛地发展。
可以说，常微分方程定性理论已经构成近代非线性分析中重要的一章，它对其他分支的研究有可贵的参考价值。 下面就二、三阶微分系统介绍一些基本的定性思想方法。
平面驻定微分系统 给定平面微分方程 （1） 其右侧函数在R2（欧氏平面）上定义了一向量场（P(x,y),Q(x,y)），由于P、Q与t无关，称它为定常场，对应的微分方程称为定常（微分）系统，或驻定（微分）系统，也称自治系统；当P、Q依赖于t时，对应的微分方程称为非驻定（微分）系统。 奇点 在（1）中假设P、Q在区域上连续可微，令（x0,y0）∈D，若（x0,y0）是P(x,y)=0及Q(x,y)=0的解，则（x0,y0）叫做方程的奇点，否则叫做常点。
向量场（P(x,y),Q(x,y)）在常点有确定的方向（P(x0,y0),Q(x0,y0)），即上方程通过点（x0,y0） 的轨线在此点有确定的方向。 所谓轨线，即方程的解在R2中所确定的曲线，也即点随t而变化的轨道。
于是由解对初值及右侧函数的连续依赖性，在常点充分小邻域内的轨线便几乎平行，故从局部看，其结构异常简单，无须研究。而向量场（P(x,y),Q(x,y)）在奇点为零向量，它无确定的方向，但x=x0,y=y0是方程的解，即奇点也是方程的（退化的）轨线，而且在奇点邻域内的轨线分布（或叫奇点的结构）一般说来异常复杂。
不失一般性，设奇点为坐标原点（0,0），由泰勒公式可把上述方程写成 凧=αx+by+P1(x,y)，夻=сx+dy+Q1(x,y)其中P1,Q1是当x→0,y→0时比高阶的无穷小量。奇点（0,0）的结构与特征方程=0的根λ1、λ2密切相关。
当时，（0,0）叫做初等奇点。 此时可经非退化的线性变换将上方程所对应的线性方程凧=αx+by，夻=сx+dy化为标准型，将变换后的变量仍以x,y表示，则线性方程奇点的结构可化为下列几种情形： ① λ1与λ2为同号实根，奇点（0,0）叫结点。
从结点的充分小邻域内出发的任何轨线都沿确定方向无限趋近它（当t→+或t→-，视λ1和λ2为负或为正而定）。 若λ1≠λ2，方程可化为凧=λ1x，夻=λ2y，以0>λ1>λ2为例，其图形为图1之a。
若λ1=λ2，且初等因子是单的，方程同（α），以λ11=λ2，且初等因子是重的，方程可化为凧=λ1x，夻=-x+λ1y，其图形如图1之c。 ② λ1与λ2为异号实根，奇点（0,0）叫鞍点。
从鞍点的充分小邻域内出发的轨线，有二条当t→+时沿确定方向无限趋近它，而另有二条当t→-时沿确定方向无限趋近它，这四条轨线叫做分界线，其余轨线都双侧离开此邻域。这时方程如①中λ1≠λ2的情形，以λ1>0>λ2为例，其图形如图1之d。
③ λ1,2=α±iβ，α，β≠0，奇点（0,0）叫焦点。 从焦点充分小邻域出发的轨线都螺旋形地无限趋近它（当t→+或t→-，视α为负或为正而定）。
此时方程可化为凧=αx+βy，夻=-βx+αy。以αβ>0为例，其图形如图1之e。
④ 当λ1,2=±iβ，β≠0，奇点（0,0）叫中心。在中心的充分小邻域内都是围绕中心的闭轨线（如图1之f）。
加上高次项P1和Q1后，当P1和Q1是x、y的解析函数时，奇点（0,0）或是中心或是焦点。中心和焦点的判别一般来说需要进行无限步的代数运算或积分运算。
综上所述，平面线性系统的孤立奇点不计时间走向共有三种不同拓扑结构：中心、鞍点、焦结和结点；后两者的拓扑结构相同，即其图形只差一个拓扑变换。 另外，当特征根实部（α）不为零时，Д。
格罗布曼和Р。哈特曼证明，在奇点的邻域存在连续变换u=η1(x,y),v=η2(x,y)，其中η1(0,0)=η2(0,0)=0，当x=y=0时，，将原方程变为线性方程夦=αu+bv，妭=сu+dv，将轨线变为轨线且保持时间定向。
这就是著名的线性化定理，它不限于二阶系统。由此推得，。
4.求一篇以数值逼近在生活中的应用“为题的2000字论文以数值逼 爱问
1 引 言 刚性微分方程存在于航空、航天、热核反应、自动控制、电子网络及化学动力学等许多重要科学技术领域及实际问题中[1,2]，由于方程的解中既包含有衰减十分迅速的分量，又包含有相对来说变化缓慢的分量，两者的差别可以有好几个数量级，在选定计算方法时带来很大实质困难。
实际研究证明，由于数值解稳定性限制，求解刚性微分方程主要采用隐式方法，如：隐式RK方法，BDF方法，IRK方法等。而采用隐式方法将刚性方程离散化以后，其变为线性或非线性方程（组）的求解问题。
目前，对线性或非线性方程（组）的求解，多采用Newton-Raphson迭代求解。 但对于某些非线性方程组，由于方程之间的非线性化程度相差较大，采用Newton-Raphson迭代方法数值求解的结果并不理想。
本文利用Brown算法求解此类非线性刚性系统，具有较高精度和较快迭代速度的优点，数值试验结果表明了该方法的有效性。 2 Brown算法 考虑多个实变量的非线性方程组 （2.1） 的数值求解问题，非线性方程组可以用向量形式表示：，其中，。
形如：的公式称为Newton-Raphson迭代公式。由于该方法是将，同时线性化，所以它并未考虑充分利用的具体结构。
如果一个非线性的向量函数，其线性精度在各个分量，上的分布可能是不平衡的，有的分量是非线性函数，而有的分量是线性函数，同时非线性函数组中也有非线性程度高低的差别，在此情况下，利用Newton-Raphson迭代方法对所有分量采用完全相同的数值处理，不利于方法整体计算效率的提高。 针对以上情况，Brown于1969年提出了按分量函数方程，来形成迭代过程[3]，其基本思想是对各分量逐个线性化并用其中每一个线性方程消去余下非线性方程中的一个变量，最后整个方程组就简化为一个仅含单个变量的非线性方程，应用一次单步Newton-Raphson迭代并结合逐一回代，即完成一次迭代过程[4]期刊网。
Brown算法的迭代步骤如下： 第一步，设为方程组（2.1）解的第次近似，函数在处近似用线性函数 替代，令，由此求出： 定义上式右端为。 第二步，对函数定义一个新函数Brown算法，且记，其中。
类似地，用线性函数来近似替代。令，解出， 。
展开1 引 言 刚性微分方程存在于航空、航天、热核反应、自动控制、电子网络及化学动力学等许多重要科学技术领域及实际问题中[1,2]，由于方程的解中既包含有衰减十分迅速的分量，又包含有相对来说变化缓慢的分量，两者的差别可以有好几个数量级，在选定计算方法时带来很大实质困难。 实际研究证明，由于数值解稳定性限制，求解刚性微分方程主要采用隐式方法，如：隐式RK方法，BDF方法，IRK方法等。
而采用隐式方法将刚性方程离散化以后，其变为线性或非线性方程（组）的求解问题。目前，对线性或非线性方程（组）的求解，多采用Newton-Raphson迭代求解。
但对于某些非线性方程组，由于方程之间的非线性化程度相差较大，采用Newton-Raphson迭代方法数值求解的结果并不理想。本文利用Brown算法求解此类非线性刚性系统，具有较高精度和较快迭代速度的优点，数值试验结果表明了该方法的有效性。
2 Brown算法 考虑多个实变量的非线性方程组 （2.1） 的数值求解问题，非线性方程组可以用向量形式表示：，其中，。 形如：的公式称为Newton-Raphson迭代公式。
由于该方法是将，同时线性化，所以它并未考虑充分利用的具体结构。如果一个非线性的向量函数，其线性精度在各个分量，上的分布可能是不平衡的，有的分量是非线性函数，而有的分量是线性函数，同时非线性函数组中也有非线性程度高低的差别，在此情况下，利用Newton-Raphson迭代方法对所有分量采用完全相同的数值处理，不利于方法整体计算效率的提高。
针对以上情况，Brown于1969年提出了按分量函数方程，来形成迭代过程[3]，其基本思想是对各分量逐个线性化并用其中每一个线性方程消去余下非线性方程中的一个变量，最后整个方程组就简化为一个仅含单个变量的非线性方程，应用一次单步Newton-Raphson迭代并结合逐一回代，即完成一次迭代过程[4]期刊网。 Brown算法的迭代步骤如下： 第一步，设为方程组（2.1）解的第次近似，函数在处近似用线性函数 替代，令，由此求出： 定义上式右端为。
第二步，对函数定义一个新函数Brown算法，且记，其中。类似地，用线性函数来近似替代。
令，解出， 此时，为个变量的线性函数，并记此线性函数为。 第步，由线性函数，可得，利用Newton-Raphson迭代，求得，并由出发，利用逐一回代，即 （2.2） 从而可求出，至此完成了一次Brown迭代过程。
3 数值试验 考虑以下常微分方程组初值问题： 问题1 其中：；。 问题2 其中：；。
对于上述两问题，当时，可计算其右函数组的Jacobi矩阵的特征值，均有，其余特征值绝对值均不超过6，因此系统呈强刚性。 此外，观察两问题中的右函数组，可以看出除最后一个函数是高度非线性化外，其余函数都是线性的。
对于上述两问题，采用隐式Euler方法离散方程组，并分别用Newton-Raphson迭代法与Brown迭代法求解，取步长，及相对误差界（表示迭代次数）控制每步。
5.微分方程在经济学中的常作用应用1500字论文
1500字太夸张了，给你一下提示吧！1、运用微分方程或微分方程组，可以描述经济系统的动态运行规律。
2、运用微分方程，可以分析经济系统的均衡与稳定性。3、在微分方程中加入控制变量，将经济学问题转化为最优控制问题，可以分析经济系统的最优控制策略。
目前比较常用的微分方程在经济学中的应用有：（1）最早的哈罗德-多马经济增长模型、索罗模型等均属于微分方程（或转化为差分方程）模型。（2）后来的经济增长的世代交替模型等也是运用的微分方程。
（3）技术扩散的巴斯模型，以及分析竞争洛克塔-瓦塔利亚模型也是微分方程模型。（4）亚瑟的路径依赖与锁定模型是随机微分方程。
（5）布莱克-斯科尔斯期权定价模型，源于随机微分方程和变分法。（6）各种进化博弈模型中的复制动态方程是微分方程。
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