众文网1.二项式定理
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。
该定理给出两个数之和的数次幂的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
二项式定理论述了（a+b）n的展开式。人们只要有初步的代数知识和足够的毅力，便可以得到如下公式， （a+b）2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 等等。
对于（a+b）12，人们显然希望不必经由（a+b）十几次自乘的冗长计算，就能够发现其展开式中a7b5的系数。早在牛顿出生之前很久，人们便已提出并解决了二项式的展开式问题。
中国数学家杨辉早在13世纪就发现了二项式的秘密，但他的著作直到近代才为欧洲人所知。维埃特在其《分析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题。
但这一伟大发现通常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到，二项式的系数可以很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”的排列中得到： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 等等 在这个三角形中，每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和。
因此，根据帕斯卡三角，下一行的数值为 1 8 28 56 70 56 28 8 1 例如，表值56就等于其上左右两个数字21+35之和。 帕斯卡三角与（a+b）8展开式之间的联系是非常直接的，因为三角形的最后一行数值为我们提供了必要的系数，即 （a+b）8=a8+8a7b+28a6b2+56a5b3 +70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8 我们只要将三角形的数值再向下延伸几行，就可以得到（a+b）12展开式中a7b5的系数为792。
所以，帕斯卡三角的实用性是非常明显的。 年轻的牛顿经过对二项展开式的研究，发明了一个能够直接导出二项式系数的公式，而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了。
并且，他对模式的持续性的固有信念使他认为，能够正确推导出诸如（a+b）2或（a+b）3 这种形式的二项式。 关于分数指数和负数指数问题，在此还需多说一句。
我们知道，在初等 这些关系。 以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的（此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交）。
牛顿写道： 项式的“指数是整数还是（比如说）分数，是正数还是负数”的问题。公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。
对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说，牛顿的公式可能显得过于复杂和陌生。但只要仔细研究一下，就可以解决读者的任何疑问。
我们首先来看， 出 也许，这种形式看起来就比较熟悉了。 我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题。
例如，在展开（1+x）3时， 这恰恰就是帕斯卡三角的非列系数。并且，由于我们的原指数是正整数3，所以，展开式到第四项结束。
但是，当指数是负数时，又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前。例如，展开（1+x）-3，根据牛顿公式，我们得到 或简化为 方程右边永远没有终止。
应用负指数定义，这一方程就成为 或其等价方程 牛顿将上式交叉相乘并消去同类项，证实 （1+3x+3x2+x3）(1+3x+6x2-10x3+15x4-……)=1 牛顿用等式右边的无穷级数自乘，也就是求这无穷级数的平方，以检验这一貌似奇特的公式，其结果如下： 所以 这就证实了 与牛顿原推导结果相同。 牛顿写道；“用这一定理进行开方运算非常简便。”
例如，假设我们求 现在，将等式右边的平方根代入前面标有（）符号的二项展开式中的前6项，当然，此处要用29替换原公式中的x，因而，我 了前6个常数项。如果我们取二项展开式中更多的项，我们就会得到更加精确的近似值。
并且，我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根，等等， 续演算。 别奇怪的。
而真正令人吃惊的是，牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数，而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的，无须任何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。
二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个前提是牛顿的逆流数，也就是我们今天所说的积分。
但是，对逆流数的详尽说明属于微积分问题，超出了本书的范围。然而，我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理，并举一两个例子来加以说明。
牛顿在1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题，但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数问题，他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。
比如，我们知道，艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文，他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道：“……我的一个朋友……在这些问题上很有天分，他曾带给我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下。
设任意曲线AD的底边为AB，其垂直纵边为BD，设AB=x, BD=y，并设a、b、c等为已知量，m和n为整数。则： 到x点之内的图形的面积。
根据牛顿法则，这一图形的面积为 按照牛顿公式，面积为12x2，对这一结果，可以很容易地用三角形面积公式 牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2，“如果y值是由几项之和组成的，那么，其面积也同样等于每一。
2.二项式定理
二项式定理 binomial theorem
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。
此定理指出：
其中，二项式系数指。
等号右边的多项式叫做二项展开式。
二项展开式的通项公式为：。
其i项系数可表示为：。，即n取i的组合数目。
因此系数亦可表示为帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）
二项式定理（Binomial Theorem）是指（a+b）n在n为正整数时的展开式。（a+b）n的系数表为：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
…………………………………………………………
（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）
在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。
1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
1.熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律
二项式定理： 叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且， 注意项的系数和二项式系数的区别.
2.掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式.
①对称性：
②增减性和最大值：先增后减
n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2+1
n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2+1
3.二项式从左到右使用为展开；从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.
证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是）a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个（a+b）选了a,(a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个（a+b）选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。
二项式系数之和：
2的n次方
而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的（n-1）次方
二项式定理的推广：
二项式定理推广到指数为非自然数的情况：
形式为
注意：|x|<1
(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+。+C(n,n)b^n
证明
数学归纳法：
当n = 1,
3.二项式定理
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原发布者：天道酬勤能补拙
典型例题一
例1在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.
分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.
解：二项式的展开式的通项公式为：
前三项的
得系数为：，
由已知：，
∴
通项公式为
为有理项，故是4的倍数，
∴
依次得到有理项为.
说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17项.
典型例题二
例2求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项.
分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究.由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值.
解：展开式的通项公式为：系数的绝对值为，记为.
用前后两项系数的绝对值作商得：
令得：即、1、2时，上述不等式成立.
所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小.
系数绝对值最大的项为第4项，.
从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第典型例题四解：∴而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有
4.二项式定理~~~
1、第一个问题：什么是二项式？
x、y、2、3、4a、5b、6ab、7x²、8xy²、9axy、-2x²y³、-4abcx²y³z⁴、、、
上面这些都是单项式，monomial。
3+a,4-b,5+x,6-x²，x+y,a+x,b-y,3x-5y,2ax² - 3by³，abcx+defy、、、
上面这些都是二项式，binomial，它们不是同类项（like terms），不可以合并。
1+a-b,2-a-b,3a+4b+5c,ab+cd+ef,x²+y³+z⁴，6a-7x+8x²，x+x²+x³，
2x²+5y³-7z⁴，123+456abc-789xyz,x²yz-xy³z-xyz⁴，ax+by-cz，、、、、、、
上面这些都是三项式，trinomial，三项式和三项式以上的都叫多项式，polynomial。
2、（x + y）² = x² + 2xy + y²
(x - y)² = x² - 2xy + y²
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³
(x + y)⁴= x⁴+ 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴
(x - y)⁴= x⁴- 4x³y + 6x²y² - 4xy³ + y⁴
、、、、、、、、、、、
上面这些公式，楼主一定知道是怎么展开的。
左边的括号里，是二项式，右边是多项式，所以称为二项式展开。
其实这句话说得并不准确，既然是二项式，展开不展开，仍是二项式，怎么是多项式？
确切意思是二项式的多次幂，展开后成为多项式。
初学者的幂次，肯定是正整数，以后可以是分数，也可以是负数，甚至是无理数。
3、无论幂次是正整数，负整数、分数、负分数、无理数，二项式理论就是指展开后的
系数规律，如何计算。
至于解题技巧，在这里三言两语是说不清的，另外也不知道楼主学到了什么深度？
学到麦克劳林级数、泰勒级数了吗？学了复数了吗？学了统计分布了吗？、、、、
不同的深度，解题的特色是不一样的。如果只是学了简单的概率计算的话，要注意
符号的意思，符号的抽象运算。
特别值得一提的是：
如果楼主想打算出国留学，最好别看国内的中文书籍，因为在符号使用上，国内不理睬
国际的通用法，标示法完全相反，参加国际考试的学生不知被残害了多少！！！
5.二项式定理
二项式定理 binomial theorem 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。 此定理指出： 其中，二项式系数指。 等号右边的多项式叫做二项展开式。 二项展开式的通项公式为：。 其i项系数可表示为：。，即n取i的组合数目。 因此系数亦可表示为帕斯卡三角形（Pascal's Triangle） 二项式定理（Binomial Theorem）是指（a+b）n在n为正整数时的展开式。（a+b）n的系数表为： 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6 ………………………………………………………… （左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和） 在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。 1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。 1.熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律 二项式定理： 叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且， 注意项的系数和二项式系数的区别. 2.掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. ①对称性： ②增减性和最大值：先增后减 n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2+1 n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2+1 3.二项式从左到右使用为展开；从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想. 证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是）a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个（a+b）选了a,(a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个（a+b）选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。 二项式系数之和： 2的n次方 而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的（n-1）次方 二项式定理的推广： 二项式定理推广到指数为非自然数的情况： 形式为 注意：|x|<1 (a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+。+C(n,n)b^n 证明 数学归纳法：当n = 1，.设二项展开式在n = m时成立。若n = m + 1,(a + b)m + 1 = a(a + b)m + b(a + b)m= = 将a、b乘入= 取出k = 0的项= 设j = k − 1= 取出k = m + 1项= 两者加起= 套用帕斯卡法则
这个问题二项式定理，好难啊，辛辛苦苦回答了，给我个满意答案把
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