众文网1.数学归纳法及其在中学数学中的应用 毕业论文
1.研究的背景、目的及意义
主要写三层意思，
第一，从给学生开阔视野的角度，在中学数学，数学归纳法主要用于证明题，给学生提供一个新的思路解题；
第二，从未来应用的角度，（不太确定文科教材里有没有数学归纳法），对于理科生，将来会涉及到计算机编程，数学归纳法是递归循环的简单形式，有利于学生今后理工科知识的理解和学习
第三，从应试角度，数学归纳法是中学数学的必修课，也是考试必考的知识点，也是比较好拿分的知识点
2.主要研究内容和预期目标
结合背景目的里的三层意思，主要研究内容围绕学生的认知水平，以及学生举一反三的能力来写：
第一，统计数学归纳法在学生中的理解程度，或者说，数学归纳法对大部分学生来说的难易程度，学生在那些方面理解不清楚，这些理解不清楚的情况是属于普遍现象还是个别现象；（比如文科生和理科生理解上有何不同）
预期目标：知道数学归纳法难在哪里，容易在哪里，要有统计数据
第二，学生对数学归纳法的认识，是否有学生认识到数学归纳法在实际生活中的意义，还是应试的情况居多，一些对数学感兴趣的同学有没有觉得数学归纳法给他们带来的方便
第三，学会了数学归纳法的同学是不是能更容易的理解计算机的递归循环算法，例如汉诺塔
3.拟采用方法，步骤
结合2中所说，主要通过统计方法，结合对学生的调查
差不多就这样吧，我不是学教育的，不知道合不合您的要求
2.论文:数学归纳法的原理应用及推广
[数学归纳法] 对于包含整数n的公式，即从某一整数起对后面所有整数n都成立的公式，有时可用数学归纳法来证明.其步骤如下：
1o验证n取第一个值n0时（如n0=0, 1或2等）公式成立.
2o假定当n=k时公式成立，验证当n=k+1时公式也成立.
因为公式当n=n0时成立，所以由2o可知，当n=n0+1时公式也成立；再由2o可知，当n=n0+1+1=n0+2时公式也成立，如此继续推下去可知，对一切大于n0的整数n公式都成立.
[抽屉原理]
n+1个物体放入n个抽屉里，至少有一个抽屉有两个以上的物体，这个原理称为抽屉原理，它在证明某些存在性定理时很有用.抽屉原理分以下三种形式：
1on+1个元素分成n组，必有一组至少包含两个元素.
2om个元素分成n组（m>n为正整数），必有一组至少包含个元素（[x]表示x的整数部分）.
3o无限多个元素分成有限组，必有一组包含无限多个元素.
3.论文:数学归纳法的原理应用及推广
数学归纳法的原理本质上是用到了自然数集是一个良序集。良序集的定义：设集合（S，≤）为一全序集，≤是其偏序关系，若对任意的S的非空子集，在其序下都有最小元素，则称≤为良序关系，（S，≤）为良序集。
如果里面还有一些名词不懂的话就上百度百科查找，这不是一两句话就能够说清的。
应用的话就是你平时做的那些题目
推广，数学归纳法是应用于自然数集的，把自然数集推广到任意良序集上就是“超限归纳法”，这是最经典的推广。当然前提是你是数学专业的大学生，否则不会学到这么深的。
如果你是高中生的话，把“当n=1时成立…，假设当n=k时成立…就可证明当n=k+1时成立…”推广到“当n=1、2时成立…，假设当n=k时成立…就可证明当n=k+2时成立…”
或者也可以推广为”当n=1时成立…，假设当n≤k时成立…就可证明当n=k+1时成立…”
也就差不多了
4.数学归纳法应用
当n=2时
(a*2+b*2)/ 2 >((a+b)/2)*2 化简 （a-b）*2>0 明显成立
假设当n=k时，不等式仍然成立。
有 （a*k+b*k）/ 2 >((a+b)/2)*k --------①
当n=k+1时
(a*(k+1) + b*(k+1))/ 2 >((a+b)/2)*(k+1) -----------②
这时候，可以用放缩法 由于①成立（a*k+b*k）/ 2 =((a+b)/2)*k 代入②
相乘，在移项，抽取相同部分 可以化简为 （a-b）(a*k-b*k)>0 -----③
讨论 a>b 或 a>b ③ 都成立
故n=k+1时也成立
综上所述，不等式成立。
a*2 代表 a的平方 其他同理
5.急需一篇关于数学归纳法的形式及其应用的开题报告要有设计论文工作
数学归纳法可以说是贯穿了整个数学的始终，就像我们大家所熟知的奇数与偶数的定义，合数与质数，等腰三角形与等边三角形定义，等差数列与等比数列的定义等等都是由归纳与类比得出来的，在看近几年的高考题时，我看到了几乎每个省每一年的高考题都会涉及用数学归纳法证明或是求解数列的问题。
而我们读师范类院校的同学们毕业以后很有可能成为教师，作为教师的职责就是为学生们服务，我想初中的教师就应该研究中考题，高中的教师应该研究高考题，要是以后我们成了一名高中教师，我们就必须去把握高考动向，透彻把握高考考点，研究数学归纳法一方面可以为高考服务。
6.题目是数学归纳法原理应用及推广的毕业论文
1、数学归纳法证明抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。
一. 抽屉原理最常见的形式
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.
原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体，那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能.
原理1 2都是第一抽屉原理的表述
第二抽屉原理：
把（mn-1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能
7.利用数学归纳法
数学归纳法格式比较麻烦
(1)
当n=1时
左边=2=2^1*1=右边
等式成立
(2)假设.当n=k时等式成立.（k>=1,k为自然数）
此时（k+1）(k+2)(k+3)*。*2k=2^k*1*3*(2k-1)（这句你貌似多打了个2，前面貌似乘号）
那么当n=k+1时
左边=（k+2）(k+3)(k+4)*。*2k*(2k+1)(2k+2)
=2*(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*。*2k*(2k+1)
=2*2^k*1*3*5。*(2k-1)*(2k+1)
=2^(k+1)*1*3*5*。*(2k+1)=右边。
等式也成立
由以上（1）(2)知.对于n>=1的一切自然数n都有等式成立.
命题得证（Q.E.D）
8.数学归纳法
概述 数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
编辑本段基本步骤 （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）(2)，对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n), (1)验证n=n0时P(n)成立； （2）假设n0≤n 综合（1）(2)，对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）： （1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k,k≥1）; (2)假设P(k+1)(k≥n0)成立，并在此基础上，推出P(k)成立， 综合（1）(2)，对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立； （四）螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的命题P(n),Q(n), (1)验证n=n0时P(n)成立； （2）假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）(2)，对一切自然数n（≥n0）,P(n),Q(n)都成立。编辑本段应用 （1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。
（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 （3）证明数列前n项和与通项公式的成立。
（4）证明和自然数有关的不等式。编辑本段数学归纳法的变体 在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。
下面介绍一些常见的数学归纳法变体。从0以外的数字开始 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改： 第一步，证明当n=b时命题成立。
第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。
只针对偶数或只针对奇数 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面： 第一步，证明当n=1时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
偶数方面： 第一步，证明当n=0或2时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
递降归纳法 数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,。
,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,。,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,。
,m，原命题均成立。 归纳法的变体I 如果命题P(n)在n=1,2,3,。
,t时成立，并且对于任意自然数k，由P(k),P(k+1),P(k+2),。
,P(k+t-1)成立，其中t是一个常量，那么P(n)对于一切自然数都成立.编辑本段数学归纳法的合理性 数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。
但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。比如，由下面的公理可以推出数学归纳法原理：自然数集是良序的。
注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。
编辑本段历史 已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo(1575年)。Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成： 递推的基础：证明当n=1时表达式成立。 递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。
这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。
或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。 这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。
这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）(2)成立，就会全都倒下。 解题要点： 数学归纳法解题过程中， 条件一定为：假设。
因此，推论中的假设不能作为已知的条件，在接下来的推导过程中就不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。 需要将k+1代入到原有已知式中，进一步推广得到与原来式有相同结构的表达式。
通俗地说就是结构相同，原本k的地方可以完全用k+1替换。
9.数学归纳法的应用
数学归纳法的应用
1、用数学归纳法证题要恰当运用分析法，主要有如下三个步骤：
①归纳基础：证n取第一个值时命题成立。
②证传递性：由成立证明时命题成立。
③得出结论：综合，时命题成立。
2、数学归纳法的举例分析
假设我们要证明下面这个公式（命题）：
其中n为任意自然数。这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。
证明
第一步
第一步是验证这个公式在n=0时成立。我们有左边=0，而右边=0(0+1)/2=0，所以这个公式在n=0时成立。第一步完成。
第二步
第二步我们需要证明如果假设n=m时公式成立，那么可以推导出n=m+1时公式也成立。证明步骤如下。
我们先假设n=m时公式成立。即
（等式1）
然后在等式等号两边分别加上m+1得到
（等式2）
这就是n=m+1时的等式。我们现在需要根据等式1证明等式2成立。通过因式分解合并，等式2的右手边也就是说这样便证明了从P(m)成立可以推导出P(m+1)也成立。证明至此结束，结论：对于任意自然数n,P(n)均成立。
解释
在这个证明中，归纳推理的过程如下：
首先证明P(0)成立，即公式在n=0时成立。然后证明从P(m)成立可以推导出P(m+1)也成立。（这里实际应用的是演绎推理法）根据上两条从P(0)成立可以推导出P(0+1)，也就是P(1)成立。继续推导，可以知道P(2)、P(3)也成立。从P(3)成立可以推导出P(4)也成立。不断重复推导下一命题成立的步骤。（这就是所谓“归纳”推理的地方）我们便可以下结论：对于任意自然数n,P(n)成立。
3、数学归纳法的变体
在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
从0以外的数字开始
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：
第一步，证明当n=b时命题成立。
第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。
用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。
只针对偶数或只针对奇数
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：
奇数方面：
第一步，证明当n=1时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
偶数方面：
第一步，证明当n=0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
递降归纳法
数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,。,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,。,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,。,m，原命题均成立。
4、数学归纳法的合理性
数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的（参见皮亚诺公理）.但是他可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理：
自然数集是良序的。
注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化.更确切地说，两个都是等价的.
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