众文网1.浅析数学三角函数最值问题及求解方法
最值问题是高中数学的重点和历年高考的热点，它涉及中学数学的各个分支，在一些特定的领域中应用还十分广泛，分清问题的类型对于最值问题的解决十分有益。
本文就三角函数中的最值问题略作介绍。三角函数是一种函数，因此初等函数中的最值问题的求法对三角函数也适用，但三角函数既然是一种特殊的函数，其最值问题的求法当然也有其独特的地方。
一、配方法例1.(1997年全国)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为（）A.2 B.0C.-■D.6略解：由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■，cosx∈[-1,1]利用三角函数的有界性及二次函数在闭区间上求值域可得：0≤y≤6。答案：B点评：配方法作为初等函数中极为重要的方法在三角函数中应用仍然十分广泛，但本例运用配方法意在确定对称轴的位置。
若将本例变为：函数y=sin2x-cosx+2的最小值为，则需异名化同名（余弦），再由配方法得出答案为1。二、“合一变形”及有界性法例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是（）A.2-■ B.2+■C.0 D.1略解：根据两角和与差的三角公式作逆运算得，y=■sin(x+■)+2，再利用三角函数的有界性知：y∈[2-■，2+■]。
答案：A点评：“合一变形”法就是逆用“两角和与差的正余弦公式”对同角异名弦之和与弦之差作“二合一变形”。变题：函数y=■的值域为略解：由y=■得，sinθ=■而sinθ∈[-1,1]，故函数的值域为：[-2,0]三、“和积不等式”与“勾子函数”法例3.函数y=sinα+■，α∈（0，π）的最小值为（）A.2■ B.-2■C.6 D.-6略解：由α∈（0，π），则sinα∈（0,1）由“勾子函数y=x+■>0”性质可求y≥6。
答案：C变题：函数y=5sinα+■，α∈（0，π）的最小值为（）A.2■ B.-2■C.6 D.-6略解：由α∈（0，π），则sinα∈（0,1）由和积不等式知：5sinα+■≥2■，当且仅当sinα=■时取等号答案：A点评：“勾子函数”法的本质是函数的单调性，对于勾子函数y=x+■，a>0，当x∈（0，■]时函数单调减，当x∈（■，+∞]函数单调增。而“和积不等式”强调“一正、二定、三等”限制条件。
四、数形结合与换元法例4.函数y=■的值域为答案：（-∞，0]例5.函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域为答案：[-■，1+■]点评：例4可看作是圆：x2+y2=1上点（cosθ，sinθ）与点（-2,1）连线的斜率的取值范围。例5则可将sinx+cosx整体换元为t∈[-■，■]，并将sinxcosx化为t的代数式，进而将原问题化为二次函数在闭区间上求值域。
五、三角函数最值问题的简单应用例6.(2000年全国，理)已知函数y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；解：y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R=■cos2x+■sin2x+■=■sin(2x+■)+■y取得最大值必须且只需2x+■=■+2kπ，k∈Z，即x=■+kπ，k∈Z所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x=■+kπ，k∈Z}点评：本题的突破口是利用三角函数的降幂公式进行恒等变形，重点考查了三角函数最值所取得的条件。例7.设向量■=（3cosx,3sinx），■=（3cosx,sinx），■=（2,0），向量■与向量■的夹角为θ，当变量x∈（0，■）时，（1）求证：（■-■）⊥■（2）求角θ的最大值及相应的x值。
解：（1）∵■-■=（0,2sinx），而■=（2,0）∴（ ■ -■ ）・ ■=0*2+2sinx*0=0∴（■-■）⊥■（2）∵cosθ=■=■=■又∵x∈（0，■）令：■=t，则t∈（1,3）cosθ=■≥■（当t=■，即cosx=■时取等号）又∵θ∈（0，π），cosθ在（0，π）内为减函数∴θ≤■θ的最大值为■，此时相应的x值为■点评：本例运用了换元法、基本不等式等初等函数最值问题的求法，而其核心是以向量为载体考查三角函数的最值问题。三角函数最值问题的各种解法之间可以互相渗透，而三角函数的有界性则贯串于三角函数问题的始终。
2.求2000字三角函数的应用开题报告
开题报告
三角学的起源与发展
三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono （三角）和metrein （测量），其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具 一、课题提出的背景
高中学习的紧张，高中学科的繁多。在数学学科上三角函数始终是高中学生们的一个心结，一个想得高分却无法做对的心结。并且三角函数与平面向量中的数学思想方法贯穿于整个学习过程内容中，是解决三角函数与平面向量问题的指南.由于数学学习是具体性较差、与现实有一定距离的活动，自我一时的作用更加突出，更加需要有学习活动与对活动的自我反省和调节间的协调统一。然而，目前数学教学中并没有意识到这个重要性，轻视基本概念教学，迷恋大运动量解题训练，以获得正确答案为满足，不对解题过程进行反思，不总结解题经验和教训，更不对问题进行引申、一般化和概括数学思想方法，结果是导致数学学习的“高投入，低产出，”师生双方的负担都非常重
二、所要解决的主要问题
1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。
2、研究如何培养学生数形结合的数学思想和整体代换的思想。 3、研究如何培养学生对题分析和解决能力。
4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法，使学生对解题充满信心。
三、课题的理论价值和实践意义
理论价值：本课题的研究有助于学生养成利用数学知识解决现实问题的良好习惯，掌握基本的数学思想和方法，真正体会数学知识的实际意义，培养学生良好的数学意识。
实践意义：本课题的研究体现了数学教学的实际意义和新课程基本要求，提高学生数学学习兴趣，培养数学应用能力。 四、研究内容
1、对学生数学的应用能力进行调查，找出影响应用能力的因素。 2、对学生进行图形语言和数学符号语言相结合练习，培养学生数形结合的思想方法。
3、研究学生解决实际问题过程中学生自主探索，合作交流的能力，寻求多样化的解题方法，培养学生的创新意识。
采纳有好报
3.三角函数图像与性质论文
基于网络环境下《三角函数的图像和性质》课堂教学的探讨数学论文 摘 要：互联网的出现，教育模式将有革命性的变化，基于网络环境下的教学已成为当今教学改革的核心，也更能够体现新课程标准精神。
基于网络环境下的数学教学，有助于突破难点，真正实现分层教学和因材施教，从而提高教学效益。基于网络环境下的数学教学应处理好网络与学生的和谐关系，网络与教师的关系，教师与学生的关系。
关键词：教学 数学 网络 新课标传统的教育模式的教学方法、教学手段和教学评价已不能适应社会发展和人们学习的需要，基于网络环境下的学科教学和课堂评价的出现和普及，极大的丰富了教学改革的内容，充分有效的利用了教学资源，基于网络环境下的课堂教学与评价把文本、图像、图形、视频、音频、动画整合在一起，并通过互联网进行处理、控制传播、为学生提供了最理想的学习环境。 一、基于网络环境下的数学教学的含义 基于网络环境下的数学课堂教学，根据新课程标准的教学内容和教学目标需要，继承传统教学的合理成分，打破传统教学模式，全天候，不间断，因材施教的新型教学方法，教学与评价的信息在互联网上传输与反馈，极大的优化了教师群体，极大的丰富了学生的知识能力。
基于网络环境下的教学，可以共享教学资源，传递多媒体信息，适时反馈学生学习情况，刺激学生不同的感官，符合学生的学习认知规律，提高学生的学习兴趣，扩大了信息接受量，增大了课堂教学容量，同时又具有实时性，交互性，直观性的特点大大丰富了课堂教学模式，同时又满足了分层教学，因材施教，远程教学等社会需要，开创了教学的全新局面。 二、基于网络环境下数学教学与评价的应用 基于网络环境下数学教学与评价有两大优点： 1、能做到图文并茂，再现迅速，情境创设，感染力强，能突破时空限制，特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能，发挥个体的最大潜能和创造力，加快学生对知识的理解、接受和记忆，也最能体现新课标的精神，也极大的满足社会全民教育，终身教育的要求。
2、同时全体老师又能通过网络共享教学资源，适时创新资源，使每一位老师都成为名师，使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的图像以及图像变换是重点内容，关于函数图像的传统画法，是通过师生列表，描点，连线而得，这些工作烦，静止孤立，间断的点和线。
教师要自制每一节的课件难度大，时间又有限，而基于网络环境下的数学教学，就可以充分利用网络版课件，进行网上学习，从而化静为动，化繁为简，减轻教师的体力负担，使教师有更多的时间进行创新研究，同时让学生在交互的动态的网络环境下学习，函数值随自变量变化而同步变化以及对应运动的轨迹，从而得到完整精确的函数图像，通过交互学习让学生充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系，充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。若有疑问或好的见解，还可以通过网络进行远程的交流互动。
通过多媒体，交互反馈，使学生深刻理解，不易遗忘。也培养了学生自我学习和终身学习的能力。
网络环境下的数学教学，教师教得轻松，也有更多的时间进行个别指导，学生学得愉快。学得有趣，这样数学教学的效率也提高了。
二、基于网络环境下数学教学突破教学难点 高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题，而这也正是高中数学的难点之一，基于网络环境下的教学可以化抽象为直观，有利于突破难点。 如“二次函数即：y=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值的探讨，学生对二次函数的开口，对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解，在网络环境下，学生通过对网络课件的阅读和对a,b,c,m,n的动态控制，能深刻理解数学知识的要点，加上在网上的即时测试和评价，更能有效的掌握它，不再感到难以理解。
三、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化，即时化。 传统的教学形式是教师讲，学生听，这样教学方式课堂容量有限，反馈方式单调，信息交流少，所有的学生步伐相同不利于因材施教，不利于培养学生现代的终身的学习能力，同时不能解放教师，让教师从事更有意义的教育工作。
而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求，培养活学活用的能力，真正实现教学以学生为中心，教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教，体现新课标的要求， 四、基于网络环境下数学教学应处理好的关系 （1）网络与学生的关系 和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学，应加强对互联网海量信息的搜索，筛选，加工，创新。
在选好教育资源后，教师要努力探索适时、适用问题，创设学习情境，营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握，达到网络与人的和谐统一。
（2）网络与教师的关系 基于网络环境下的学科教学优势空前，实践中发现，只有网络环境下的教学与教师灵活生动的讲解和创新的适时评价互相配合，相互促进，协调传递信息，最大限度地发。
4.三角函数求最值
y=2sinx(sinx+cosx)
y=2sin²x+2sinxcosx
=1+sin2x-cos2x
=1+√2sin(2x-π/4)
当sin(2x-π/4)=1,y=1+√2(1)=1+√2
当sin(2x-π/4)=-1,y=1+√2(-1)=1-√2
值域[1-√2,1+√2]
y=cos2x+3sinx
=1-2sin²x+3sinx
=1-2[sin²x-(3/2)sinx]
=1-2(sin²x-2*(3/4)sinx+(3/4)²-（3/4）²]
=1-2(sinx-3/4)²-2[-(3/4)²]
=-2(sinx-3/4)²+17/8
最大值为17/8
当sinx=1,y=-2(-1-3/4)²+17/8=-4
最小值为-4
值域[-4,17/8]
5.三角函数求最值
需要一些技巧。
解：设g(x)=2sinx+2cosx-5sinxcosx
u=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
已知0<x<；π/4，则π/4<x+π/4<3π/4
故1<u≤√2，同时0<cosx<1
又sinxcosx=(u²-1)/2
故g(x)=g1(u)=(-5/2)u²+2u+5/2
g1(u)的对称轴u=2/5<1
则g1(u)在（1，√2]上单调递减
2√2-5/2=g1（√2）≤g(x)=g1(u)<g1(1)=2
故max[g(x)]=2 min[g(x)]=2√2-5/2
下面需要比较
（我这里特别说明一下为什么要比较呢？因为最值点只可能在这两个函数g(x)和cosx这两个最值点取到，因为都是在这个对应区间，但是具有x值是同时变化的，所以需要比较。这道题是有些古怪，但是用这种方法还是比较适合的）
f(x)=g(x)+cosx
g(0)+cos0=3
取最大值max[f(x)]=3
g（π/4）+cosπ/4=5（√2-1）/2 g（π/2）+cosπ/2=2
取最小值min[f(x)]=5（√2-1）/2（这个数值约等于1）
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