众文网1.微分方程 求下列可降阶的高阶微分方程的通解 y"+(y')²/1
解：这是属于y''=f(y,y')型的微分方程！
令y'=p，于是y''=p*dp/dy，带入所给方程得
p*dp/dy-(p∧2)/(1-y)=0.
分离变量得
dp/p=1/(1-y)dy
两端积分，得
ln|p|=-ln|1-y|+lnC1
∴p=C1/(1-y)
即y'=C1/(1-y)
再次分离变量，得
y'/(1-y)=C1
两端积分，即
∫y'/(1-y)dx=∫C1dx.
所以∫1/(1-y)dy=C1∫dx.
所以-ln|1-y|=C1x+C2
这就是微分方程的通解！
但愿能够帮助你！
2.可降阶的高阶微分方程的求解,“并代入初始条件”后面的括号内是如
因为[y+√（y^2-1）][y-√（y^2-1）]=1
所以ln(y+√（y^2-1）)=-ln(y-√（y^2-1）)
当x前取正时，c=-1
ln(y+√（y^2-1）)=x-1,y+√（y^2-1）=e^(x-1)
ln(y-√（y^2-1）)=1-x,y-√（y^2-1）=e^(1-x)
这样的话两式相加即得y=[e^(x-1)+e^(1-x)]/2
同理，当x前取负时，c=1
ln(y+√（y^2-1）)=1-x,y+√（y^2-1）=e^(1-x)
ln(y-√（y^2-1）)=x-1,y-√（y^2-1）=e^(x-1)
两式相加即得y=[e^(x-1)+e^(1-x)]/2
实际做题的时候，不建议这样算出y，因为大多数微分方程的通解可能是隐函数，即使解出实际解也没有意义或者根本解不出来，因此这道题的答案直接写成ln|y+√（y^2-1）|=±（x-1）就可以的
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