众文网1.函数的奇偶性
一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)那么函数f(x)就叫做偶函数。
关于y轴对称，f(-x)=f(x)。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
关于原点对称，-f(x)=f(-x)。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x),(x∈D，且D关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
编辑本段奇偶函数图像的特征 定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴成轴对称图形。 f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y） 奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
2.函数的奇偶性
a=0时f(x)=0既是奇函数又是偶函数
a>0时
x>=a时f(x)=x-a-x-a=-2a
x<=-a时f(x)=a-x+x+a=2a
-a<x<a时f(x)=a-x-x-a=-2x
所以对任意的x均满足f(x)+f(-x)=0，为奇函数
a<0时
x>=-a时f(x)=x-a-x-a=-2a
x<=a时f(x)=a-x+x+a=2a
a<x<-a时f(x)=x-a+x+a=2x
所以对任意的x均满足f(x)+f(-x)=0，为奇函数
所以a=0时又奇又偶
a不等于0时奇
3.函数的奇偶性 奇偶函数
奇偶函数图像的特征：
定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴的轴对称图形。
f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
f(x)为偶函数f(x)的图像关于Y轴对称
点（x,y）→（-x,y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
还满足定义：对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
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