众文网1.三重积分的计算方法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f(x,y,z)无限制。
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成；
②函数条件：f(x,y，)仅为一个变量的函数。 适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ
①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
②函数条件：f(x,y,z)为含有与x2+y2（或另两种形式）相关的项。 适用于被积区域Ω包含球的一部分。
①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；
②函数条件：f(x,y,z)含有与x2+y2+z2相关的项。
2.三重积分的计算
/kejianweb/gaoshu/9/5.ppt
这里有一个幻灯片
其实，三重积分，就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一，三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义
其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同
若极限存在，则称函数可积
若函数在闭区域上连续， 则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.
二，在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数，y =常数， z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重
——也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ）
注意
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.
化三次积分的步骤
⑴投影，得平面区域
⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限
对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法
例1 将
化成三次积分
其中 为长方体，各边界面平行于坐标面
解
将 投影到xoy面得D，它是一个矩形
在D内任意固定一点（x ,y）作平行于 z 轴的直线
交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m (l
3.怎样计算三重积分
其实，三重积分，就是把一重积分和二重积分的扩展 三重积分及其计算 一，三重积分的概念 将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义 其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积 若函数在闭区域上连续， 则一定可积 由定义可知 三重积分与二重积分有着完全相同的性质 三重积分的物理背景 以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法. 二，在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面 x =常数，y =常数， z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 其体积为 故在直角坐标系下的面积元为 三重积分可写成 和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算 具体可分为先单后重和先重后单。
4.三重积分计算
这里有一个幻灯片
其实，三重积分，就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一，三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义
其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同
若极限存在，则称函数可积
若函数在闭区域上连续， 则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.
二，在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数，y =常数， z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重
——也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ）
注意
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.
化三次积分的步骤
⑴投影，得平面区域
⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限
对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法
例1 将
化成三次积分
其中 为长方体，各边界面平行于坐标面
解
将 投影到xoy面得D，它是一个矩形
在D内任意固定一点（x ,y）作平行于 z 轴的直线
交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m (l < m)
o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
.(x,y)
例2 计算
其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域
D
x
y
z
o
解
画出区域D
解
除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分
先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分
若 f(x,y,z) 在 上连续
介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 < c2 ) 之间
用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域
则
②先重后单
易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，
就是截面的面积，如截面为圆，椭圆，三角形，正方形等，面积较易计算
尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时
5.三重积分的质心公式
曲面是旋转平方根曲面，有关于z=0对称的上下两个bai分支，立体是上面的分支在z=1以下的部du分。
关于z轴对称，质心在z轴上。只要确定重心zhiz的值即可。
体积=∫dv,z∈[0,1]，取z=z与daoz=z+dz两个曲面之间的一个切片为dv，近内似可以看成一个圆盘，体积=π容z2dz V=∫πz2dz=πz3/3=π/3 dv对于原点的矩的积分为： M=∫zdv=∫πz3dz=πz^4/4=π/4 重心z=M/V=(1/4)/(1/3)=3/4 重心（0,0,3/4）。
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