众文网1.急求有关最小二乘法的文献综述
许禄，《化学计量学方法》，科学出版社，北京，1995。
王惠文，《偏最小二乘回归方法及应用》，国防科技出版社，北京，1996。
Chin, W. W., and Newsted, P. R. (1999). Structural Equation Modeling analysis with Small Samples Using Partial Least Squares. In Rick Hoyle (Ed.), Statistical Strategies for Small Sample Research, Sage Publications.
Chin, W. W. (1998). The partial least squares approach for structural equation modelling. In George A. Marcoulides (Ed.), Modern Methods for Business Research, Lawrence Erlbaum Associates.
Barclay, D., C. Higgins and R. Thompson (1995). The Partial Least Squares (PLS) Approach to Causal Modeling: Personal Computer Adoption and Use as an Illustration. Technology Studies, volume 2, issue 2, 285-309.
Chin, W. W. (1995). Partial Least Squares Is To LISREL As Principal Components Analysis Is To Common Factor Analysis. Technology Studies. volume 2, issue 2, 315-319.
Falk, R. F. and N. Miller (1992). A Primer For Soft Modeling. Akron, Ohio: The University of Akron Press.
Fornell, C. (Ed.) (1982). A Second Generation Of Multivariate Analysis, Volume 1: Methods. New York: Praeger.
2.数学与应用数学 毕业论文摘要翻译：
Abstract: the aging of the population is 21 century the general trend of the countries around the world. The problem of aging population and its influence, has drawn the attention of the society from all walks of life, become experts at home and abroad research of the hot spots.
Hengyang city in hunan province is located in the south, has "the wild city" say, is the largest city of hunan and political, economic and cultural center, is the second largest city of hunan province. The present situation of hengyang the ageing population is establish a series of measures to deal with the foundation of the aging population, the author USES the least square method constructed the population aging in our country, the binary regression forecasting model, and gets 2005 to 2050 hengyang population aging (65 +) coefficient, and in accordance with the prediction that the elderly population quantity, hengyang aging faster-obviously, trend, etc.
And in the light of the aging population problem from stable low birth level, to change ideas, to keep the economy yet fast development and reasonable allocation and use of labor resources and perfect social old-age security system, a sound legal system, put forward the corresponding countermeasures.
Keywords: aging population; The least square method; Binary regression forecasting model.
3.最小二乘法
不懂别乱讲 6年纪学最小二乘法？ 那是微积分的课程 可耻可笑最小二乘法 在我们研究两个变量（x, y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1, y1、x2, y2。
xm , ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中（如图1）， 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。 Y计= a0 + a1 X （式1-1） 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Y计=a0+a1X）的离差（Yi-Y计）的平方和〔∑（Yi - Y计）2〕最小为“优化判据”。
令： φ = ∑（Yi - Y计）2 （式1-2） 把（式1-1）代入（式1-2）中得： φ = ∑（Yi - a0 - a1 Xi）2 （式1-3） 当∑（Yi-Y计）平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 （式1-4） （式1-5） 亦即： m a0 + （∑Xi ） a1 = ∑Yi （式1-6） （∑Xi ） a0 + （∑Xi2 ） a1 = ∑（Xi, Yi） （式1-7） 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = （∑Yi） / m - a1（∑Xi） / m （式1-8） a1 = [∑Xi Yi - （∑Xi ∑Yi）/ m] / [∑Xi2 - （∑Xi）2 / m）] （式1-9） 这时把a0、a1代入（式1-1）中， 此时的（式1-1）就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点（x1, y1、x2, y2。xm,ym），为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。
R = [∑XiYi - m （∑Xi / m）（∑Yi / m）]/ SQR{[∑Xi2 - m （∑Xi / m）2][∑Yi2 - m （∑Yi / m）2]} （式1-10） * 在（式1-1）中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一 最小二乘法 从前面的学习中， 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据， 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系， 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 ， ， …， ， 则在 平面上， 可以得到 个点 ， 这种图形称为“散点图”， 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁， 我们认为 与 之间近似为一线性函数， 下面介绍求解步骤. 考虑函数 ， 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上， 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来， 这些点不可能在同一直线上. 记 ， 它反映了用直线 来描述 ， 时， 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好， 但由于 可正可负， 因此不能认为总偏差 时， 函数 就很好地反映了变量之间的关系， 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷， 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算， 因此， 进一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 ， 使 为最小. 用这种方法确定系数 ， 的方法称为最小二乘法. 由极值原理得 ， 即 解此联立方程得 （*） 问题 I 为研究某一化学反应过程中， 温度 ℃）对产品得率 （%）的影响， 测得数据如下： 温度 ℃） 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率 （%） 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 (1) 利用“ListPlot”函数， 绘出数据 的散点图（采用格式： ListPlot[{ ， ， …， }， Prolog->AbsolutePointSize[3]] ）; (2) 利用“Line”函数， 将散点连接起来， 注意观察有何特征？ （采用格式： Show[Graphics[Line[{ ， ， …， }]] ， Axes->True ]） ; (3) 根据公式（*）， 利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小的程序， 求经验公式 ； （程序编写思路为： 任意给定两个集合A （此处表示温度）、B（此处表示得率）， 由公式（*）可定义两个二元函数（集合A和B为其变量）分别表示 和 . 集合A元素求和： Apply[Plus,A] 表示将加法施加到集合A上， 即各元素相加， 例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A 元素的个数， 即为n; A.B表示两集合元素相乘相加；A*B表示集合A与B元素对应相乘得到的新的集合.） （4） 在同一张图中显示直线 及散点图； （5） 估计温度为200时产品得率. 然而， 不少实际问题的观测数据 ， ， …， 的散点图明显地不能用线性关系来描叙， 但确实散落在某一曲线近旁， 这时可以根据散点图的轮廓和实际经验， 选一条曲线来近似表达 与 的相互关系. 问题 II 下表是美国旧轿车价格的调查资料， 今以 表示轿车的使用年数， （美元）表示相应的平均价格， 求 与 之间的关系. 使用年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均价格 2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 (1) 利用“ListPlot”函数绘出数据 的散点图， 注意观察有何特征？ （2） 令 ， 绘出数据 的散点图， 注意观察有何特征？ （3） 利用“Line”函数， 将散点 连接起来， 说明有何特征？ （4） 利用最小二乘法， 求 与 之间的关系； （5） 求 与 之间的关系； （6） 在同一张图中显示散点图 及 关于 的图形. 思考与练习 1. 假设一组数据 ： ， ， …， 变量之间近似成线性关系， 试利用集合的有关运算， 编写一简单程序： 对于任意给定的数据集合 ， 通过求解极值原理所包含的方程组， 不需要给出 、计算的表达式， 立。
4.最小二乘法原理及应用
最小二乘大约是1795年高斯在他那星体运动轨道预报工作中提出的[1]。后来，最小二乘法就成了估计理论的奠基石。由于最小二乘法结构简单，编制程序也不困难，所以它颇受人们重视，应用相当广泛。
如用标准符号，最小二乘估计可被表示为：
AX=B (2-43)
上式中的解是最小化 ，通过下式中的伪逆可求得：
A'AX=A'B (2-44)
(A'A)^(-1)A'AX=(A'A)^(-1)A'B (2-45)
由于
(A'A)^-1A'A=I (2-46)
所以有
X=(A'A)^(-1)A'B (2-47)
此即最小二乘的一次完成算法，现代的递推算法，更适用于计算机的在线辨识。
最小二乘是一种最基本的辨识方法，但它具有两方面的缺陷[1]：一是当模型噪声是有色噪声时，最小二乘估计不是无偏、一致估计；二是随着数据的增长，将出现所谓的“数据饱和”现象。针对这两个问题，出现了相应的辨识算法，如遗忘因子法、限定记忆法、偏差补偿法、增广最小二乘、广义最小二乘、辅助变量法、二步法及多级最小二乘法等。
5.什么叫响应面法
试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域.为此响应面分析法（也称响应
曲面法）应运而生.响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图
形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件.
显然，要构造这样的响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过大量的量测试验数据建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型
作图.
建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法.对于非线性体系可作适当处理化为线性形式.设有m个因素影响指标取值，通过次量测试验，得到n组试验
数据（）.假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则有应用均匀设计一节中的方法将上式写成矩阵式或简记为式中表示第次试验中第个因素的水平值；为建
立模型时待估计的第个参数；为第次试验的量测响应（指标）值；为第次量测时的误差.应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵B如下将B阵代入原假设的回归方
程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与因素的关系图.
模型中如果只有一个因素（或自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条曲线；当有二个因素时，响应面是三维空间中的曲面.下面简要讨论二因素响应面分析的
大致过程.
在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用，有理由设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型，可表示如下：通过n次量测试验
（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的3倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；求出模型后，以两因素水平为X坐标和y坐标，以相应
的由上式计算的响应为Z坐标作出三维空间的曲面（这就是2因素响应曲面）.
应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求.因此，求出系数的最小二乘估计后，应进
行检验.一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于1或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别.如果以表示响应试
验值，为计算值，则两者的相关系数R定义为其中
对于二因素以上的试验，要在三维以上的抽象空间才能表示，一般先进行主成分分析进行降维后，再在三维或二维空间中加以描述.
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